高二数学归纳推理和类比推理

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1、归纳推理哥德巴赫猜想世界近代三大数学难题之一1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被1和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。猜想(a)任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。(b)任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。更多资源xiti123.taobao.com有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理(Chen‘sTheorem).“任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积”,通常都

2、简称这个结果为大偶数可表示为“1+2”的形式。1920年，挪威的布朗证明了“9+9”。1924年，德国的拉特马赫证明了“7+7”。1932年，英国的埃斯特曼证明了“6+6”。………………200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1637年，法国数学家费马提出：“将一个立方数分为两个立方数的和，一个四次幂分为两个四次幂的和，或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂的和，这是不可能的.”费马猜想数论中最著名的世界难题之一300多年来，这个问题吸引了很多优秀数学家，法国科学院曾于1816年和185

3、0年两次悬赏征解，德国也于1908年悬赏十万马克征解。经过三百多年来历代数学家的不断努力，剑桥大学怀尔斯终于1995年正式彻底解决这一大难题.1852年，弗南西斯·格思里搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”世界近代三大数学难题之一四色猜想1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。这种由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事

4、物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）.归纳推理部分　　　　整体个别一般不完全归纳推理得到的结论是否正确还有待严格的证明,但它可以为我们的研究提供一种方向.归纳法又分为不完全归纳法和完全归纳法.例1.已知数列{an}的第1项a1=1，且（n=1,2,…),试归纳出这个数列的通项公式.分别把n=1,2,3,4代入得:归纳:可用数学归纳法证明这个猜想是正确的.取倒数得：解法2、构造法例2.如图,在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两条线段,彼此最多分割成4条线段,同时将圆分割成4部分;画三条线段,彼此最多分割成9条线段,同时将圆

5、分割成7部分.那么(1)在圆内画四条线段,彼此最多分割成条线段?同时将圆分割成部分?(2)猜想:圆内两两相交的n(n≥2)条线段,彼此最多分割成条线段?同时将圆分割成部分?………累加得:例3.有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.1.每次只能移动一个金属片;2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测:把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?n=1时,n=2时,n=1时,n=3时,n=2时,n=1时,n=2时,n=1时,n=3时,n=4时,n=3时,n=2时,n=1时,n=4时,n=3时,n=2时,n=1时,归纳:例

6、、数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求通项公式an.an+1+1=2（an+1）数列{an+1}是首项为2公比为2的等比数列构造法(2004春季上海)根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图形中有个点.(1)(2)(3)(4)(5)练习(2005年广东)设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)=,当n>4时,f(n)=.(用n表示)累加得:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述

7、命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为：设圆的方程为①(x-a)2+(y-b)2=r2与②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或b≠d),则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.小结2.归纳推理的一般步骤:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).1.什么是归纳推理（简称归纳）?部分　　　　整体个别一般练习1.已知数列{an}的前n项和Sn