《信息论课件第五章》PPT课件

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1、1、循环码的多项式描述2、循环码的生成多项式3、系统循环码4、多项式运算电路5、循环码的编码电路6、循环码的译码7、循环汉明码8、缩短循环码循环码(1)循环码的性质循环码是线性分组码的一个重要子类；由于循环码具有优良的代数结构，使得可用简单的反馈移位寄存器实现编码和伴随式计算，并可使用多种简单而有效的译码方法；循环码是研究最深入、理论最成熟、应用最广泛的一类线性分组码。(2)循环码的定义循环码：如果(n,k)线性分组码的任意码矢C=(Cn－1,Cn－2,…,C0)的i次循环移位，所得矢量C(i)

2、=(Cn－1－i,Cn－2－i,…,C0,Cn－1,…,Cn－i)仍是一个码矢，则称此线性码为(n,k)循环码。(3)码多项式码多项式：为了运算的方便，将码矢的各分量作为多项式的系数，把码矢表示成多项式，称为码多项式。其一般表示式为C(x)=Cn－1xn－1+Cn－2xn－2+…+C0)码多项式i次循环移位的表示方法记码多项式C(x)的一次左移循环为C(1)(x)，i次左移循环为C(i)(x)码多项式的模(xn+1)运算0和1两个元素模2运算下构成域。码矢C循环i次所得码矢的码多项式C(x)乘以

3、x，再除以(xn+1)，得上式表明：码矢循环一次的码多项式C(1)(x)是原码多项式C(x)乘以x除以(xn+1)的余式。写作因此，C(x)的i次循环移位C(i)(x)是C(x)乘以xi除以(xn+1)的余式，即结论：循环码的码矢的i次循环移位等效于将码多项式乘xi后再模(xn+1)。(4)举例：(7,3)循环码可由任一个码矢，比如(0011101)经过循环移位，得到其它6个非0码矢；也可由相应的码多项式(x4+x3+x2+1)，乘以xi(i=1,2,…,6)，再模(x7+1)运算得到其它6个非

4、0码多项式。移位过程和相应的多项式运算如表6.3.1所示。(1)循环码的生成矩阵根据循环码的循环特性，可由一个码字的循环移位得到其它的非0码字。在(n,k)循环码的2k个码字中，取前(k－1)位皆为0的码字g(x)（其次数r=n－k），再经(k－1)次循环移位，共得到k个码字:g(x),xg(x),…,xk－1g(x)这k个码字显然是相互独立的，可作为码生成矩阵的k行，于是得到循环码的生成矩阵G(x)(2)循环码的生成多项式码的生成矩阵一旦确定，码就确定了；这就说明：(n,k)循环码可由它的一个

5、(n－k)次码多项式g(x)来确定；所以说g(x)生成了(n,k)循环码，因此称g(x)为码的生成多项式。(3)生成多项式和码多项式的关系定理：在(n,k)循环码中，生成多项式g(x)是惟一的(n－k)次码多项式，且次数是最低的。定理：在(n,k)循环码中，每个码多项式C(x)都是g(x)的倍式；而每个为g(x)倍式且次数小于或等于(n－1)的多项式，必是一个码多项式。定理6.3.3(定理6.3.2的逆定理)：在一个(n,k)线性码中，如果全部码多项式都是最低次的(n－k)次码多项式的倍式，则此

6、线性码为一个(n,k)循环码。注：一般说来，这种循环码仍具有把(n,k)线性码码中任一非0码矢循环移位必为一码矢的循环特性，但从一个非0码矢出发，进行循环移位，就未必能得到码的所有非0码矢了。所以称这种循环码为推广循环码。码字循环关系图单纯循环码的码字循环图：(7,3)循环码推广循环码的码字循环图：(6,3)循环码(4)如何寻找一个合适的生成多项式由下面式子可知：循环码的多项式等于信息多项式乘以生成多项式。这说明：对一个循环码只要生成多项式一旦确定，码就确定了，编码问题就解决了。所以：作一循环码

7、的关键，就在于寻找一个适当的生成多项式。定理：(n,k)循环码的生成多项式g(x)是(xn+1)的因式，即xn+1=h(x)g(x)。定理：若g(x)是一个(n－k)次多项式，且为(xn+1)的因式，则g(x)生成一个(n,k)循环码。结论：当求作一个(n,k)循环码时，只要分解多项式(xn+1)，从中取出(n－k)次因式作生成多项式即可。举例：求(7,3)循环码的生成多项式。[解]：分解多项式xn+1，取其4次因式作生成多项式x7+1=(x+1)(x3+x2+1)(x3+x+1)可将一次和任

8、一个三次因式的乘积作为生成多项式，因而可取g1(x)=(x+1)(x3+x2+1)=x4+x2+x+1或g2(x)=(x+1)(x3+x+1)=x4+x3+x2+1(5)循环码的监督多项式和监督矩阵循环码的监督多项式：设g(x)为(n,k)循环码的生成多项式，必为(xn+1)的因式，则有xn+1=h(x)g(x)，式中h(x)为k次多项式，称为(n,k)循环码的监督多项式。(n,k)循环码也可由其监督多项式完全确定。举例：(7,3)循环码x7+1=(x3+x+1)(x4+x2+x+1)4次多项