二维裂纹传播问题的数值模拟

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1、二维裂纹传播问题的数值模拟刘刘刘强强强,黄黄黄忠忠忠亿亿亿（清华大学数学科学系,北京100084）摘摘摘要要要:研究了二维裂纹传播问题。经典的连续模型对裂纹的出现条件、传播的稳定性和速度以及传播过程纹传播描述不够精确，而原子模型可以弥补这个缺点，中裂纹附近温度的变化及影响等，是这类问题的几但是完全使用原子模型计算量太大。为此，在裂纹附近个重点。当晶体受到外界的影响后，晶体各个部分使用原子模型，而在远离裂纹的地方使用连续模型，在会产生不同的应力，导致晶体发生形变，甚至出现交界面上，以吸收高频波的条件作为出发点，建立匹配裂纹。从实际经验来看，裂纹的产生具有随机性，2条件求解。这种匹配方法把计算

2、复杂度从O(N)降低到形状很尖锐而且不规则，这些都给求解这类问题带O(N)，而得到的数值解与完全用原子模型得到的解吻合来极大的困难。得很好。从经典力学原理出发，利用线弹性方程(组)研究关关关键键键词词词：：：原子-连续模型，裂纹，裂纹传播，匹配条件裂纹传播的规律，各向同性介质的连续模型为中中中图图图分分分类类类号号号:O241.82@2u½=¹4u+(¸+¹)r(r¢u)+½f;@t2NumericalSimulationforCrackPropagationinTwo-Dimensional式中：¸为Lam¶e弹性常数，¹为剪切模量。线弹性LIUQiang,HUANGZhongyi方程是

3、线性化的近似方程，有着参数简单、求解方(DepartmentofMathematicalSciences,便的优点。然而裂纹的产生涉及到化学键的断裂、TsinghuaUniversity,Beijing100084,China)位错的产生与传播等非线性因素，裂纹尖端附近受到晶体微观结构变化带来的影响,因此若仅用线弹性Abstract:Inthispaper,westudiedthecrackpropaga-方程来研究裂纹传播问题，计算结果很不准确。tionintwo-dimensionalcase.Continuummodelsbecome分子动力学可以克服上面的缺陷,它从牛顿定律inac

4、curatewhendescribingthecrackpropagationinmi-croscale.Weusetheatomisticmodelswhicharemore出发，对晶体中的每个原子建立运动方程，即：Xaccuratenearthecracktip,whilecontinuummodelsaremrÄi=¡r©(jri¡rjj);usedfarawaytoavoidthehugecomputation.Atthejinterface,wepresentanappropriatematchingcondition(suchthatthehigh-frequencywaves

5、areabsorbed)toget式中©为势函数。分子动力学方程最大的优点在于theapproximatesolution.Ourmethodcanreducethe它可以计算每个原子的运动以及产生的影响，但是2众所周知，哪怕是微米尺寸的一块晶体包含的原子computationalcomplexityfromO(N)toO(N).Thenu-mericalresultsfromourmethodmimictheresultsfrom数目也达到109以上，再考虑到时间步长的限制，atomisticmodelquitewell.要完全求解这样规模的方程组几乎是不可能的。Keywords:ato

6、mistic-continuummodel;crackpropa-近些年来，多尺度耦合算法逐渐兴起[1¡5]。为gation;matchingcondition了弥补线弹性方程在裂纹附近的不准确性，在这个区域用微观模型描述；而为了避免分子动力学方程晶体中的裂纹传播问题在材料科学和许多工程带来的巨大的计算量，在远离裂纹、受原子振动产领域中有着重要的应用。建立适当的模型，研究裂生的非线性影响较小的的区域使用宏观模型计算，0基基基金金金项项项目目目：：：国家自然科学基金资助项目(10301017);国家教这就是这类方法的基本思想。耦合方法结合了两种育部留学回国人员科研启动金资助项目；国家“九七三

7、”重点基模型的优点，可行且具有相当准确性。它的难点在础研究发展计划资助项目(2005CB321701)于，使用微观模型和宏观模型交替计算时，如何建作作作者者者简简简介介介：：：刘强，男(汉)，四川，硕士研究生。通通通讯讯讯联联联系系系人人人：：：黄忠亿，副教授，立耦合边界处人工边界条件，使它既保证结果的可Email:zhuang@math.tsinghua.edu.cn靠性，又能够应用于实际计算。这种方法在计算晶1brb