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《基于滤子函数的正则化方法的研究》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、基于滤子函数的正则化方法的研究摘要自20世纪60年代以来,在地球物理、生命科学、材料科学、模式识别、信号(图象)处理、工业控制乃至经济决策等众多的科学技术领域中都提出了“由效果、表现、输出反求原因、原象、输入”的问题,统称数学物理反问题,求解反问题面临的一个本质性的困难是不适定性,主要是解的不稳定性,即方程的解(如果存在)不连续依赖于右端的数据,当右端的数据有误差时,其解与真解之间会产生很大的误差。求解不适定问题的普遍方法之一是正则化方法,如何建立有效的正则化方法及其算法是反问题研究的重要内容。在正则化方法中,最著名的有前苏联院士Tikhonov提出的Tikhonov正则化方法,另外还有M
2、orozov的滤子函数法以及上世纪50年代Landweber和Fridman等人提出的Landweber迭代正则化等,本文基于Morozov的滤子函数法研究思路,主要作了以下工作:(1)以正规化方程为纽带,在滤子函数与最小化泛函之间建立∞**µi了紧密联系,如TTx+=αxTy的滤子函数为Rαyy=∑2(,)yiix,最i=1αµ+i22小化泛函为JxTxy()=−+αx,据此,本文对U.Tautenhahn([5,6])α22ϕµµ()提出的正则化滤子函数q(,)αµ=和李功胜([10,12])的正则22α+ϕµµ()2µ化滤子函数q(,)αµ=分别给出了其相应的泛函形式为:12rr()
3、αµ+2122*2rrrrJ()xT=−ϕα(T)(2Txyx)+和JxTxy()=−+αx,并给出了αϕ,α,r其宏观解释:212*I)Jx()在Y空间取了特殊的范数,即•=•ϕ()KK2αϕ,YII)rrJx()分别对X,Y空间都进行了“取幂”变换,即x→x,yy→α,r(2)以滤子函数为出发点,对U.Tautenhahn([5,6])和李功胜([10,12])提出的正则化滤子函数进行推广,给出了参数更多,范围22ϕµµ()更广的正则化滤子函数q(,)αµ=,相应的泛函形式为:1rr22r[(αϕµµ+)]rr*rrr221Jx()=−ϕα(TT)(Txy)+x,并且选取ϕ()x=对迭
4、代αϕ,,rsxLavrentiev正则化方法进行改进,应用于图象复原,取得了更好的复原效果;(3)对李功胜([10,12])提出的正则化滤子函数2µq(,)αµ=所对应的正则化方法进行了关于正则解的最优渐近12rr()αµ+收敛率问题研究,得出了以下定理:Th设TXY:→是一对一的线性紧算子,且值域TX()是无穷维的,令x∈X并假设存在连续函数α=αδ():[0,)∞→∞[0,)满足α(0)=0,2(r+1)−rrδ2(r++1)1使得对满足yy−≤δ的y成立limxx−δ=0,则x=0。δδαδ()δ→0关键词:不适定性,正则化滤子函数,宏观解释,饱和效应,图象复原RESEARCHOF
5、REGULARIZATIONMETHODBASEDONREGULARIZINGFILTERABSTRACTSincethe1960s,therearemanyinverseproblemsinthefieldsofnaturalscienceandengineeringtechnologysuchasgeophysics,lifescience,materialsscience,patternrecognition,signal(image)processing,industrialcontrols,andeconomicdecision-making.Ill-posednessisapr
6、imarycharacteristicofinverseproblems.Thegeneralmethodtosolveitisregularization,howtoestablishaneffectivemethodofregularizationalgorithmisanimportantpartofitsstudy.Tikhonovregularizationisoneofthemostimportantregularizationmethodsforthestudyofill-posedproblems.Theothersincludingregularizingfilterme
7、thodpreposedbyMorozovandLandweberiteratedregularizationpreposedbyLandweberandFridman,Relyonthestrateryoftheregularizingfiltermethod,themainworksarelistedinthefollowing:Fristly,Eastablishacloselinkbetweentheregula