单位球面中紧致超曲面的曲率结构与拓扑性质

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第36卷第6期数学进展Vo1．36．NO．62007年12月ADVANCESINMATHEMATICSDec．，2007单位球面中紧致超曲面的曲率结构与拓扑性质舒世昌．朱天民。(1．成阳师范学院数学系，咸阳，陕西，712000；2．渭南师范学院数学系，渭南，陕西，714000)摘要：设M是单位球面S(1)中的礼维(礼3)紧致连通定向超曲面，本文研究这种超曲面的曲率结构与拓扑性质，利用Lawson和Simons关于稳定南维流的不存在性与同调群消失定理，得到了曲率与拓扑的一个

2、关系定理，从而对ChengQ．M．所提出的一个分类问题从拓扑角度给出了一个肯定回答，并且部分肯定回答了Cheng的另一个问题．关键词：单位球面；超曲面；曲率结构；拓扑；同胚MR(1991)主题分类：53C42；53C20／中图分类号：0186．12文献标识码：A文章编号：1000—0917(2007)06—0728—091引言与定理设是单位球面“(1)中的n维紧致超曲面，如果M的数量曲率n(扎一1)r是常数且r21，s．Y．Cheng和Yau[j以及LiH．Z．【j分别利用M的截面曲率和第二基本形式模长平方所满足的某些

3、Pinching条件得到了两个重要的分类定理．可以看出，r≥1在上述两个分类定理的证明中是必不可少的一个条件．然而对01一要(参见[3])．因此，可以看出在文献[1]和[2]的分类定理之外，还存在一些黎曼乘积s(_二=_)×Srt-1(c)．由于s(、，／1一C2)×S一(c)具有两个不

4、同的主曲率，且数量曲率n(n一1)r为常数以及r>1一，因此，Cheng[3J提出了下面一个有趣的问题：问题1设是单位球面s叶(1)中具常数量曲率n(n一1)r的n维紧致超曲面，如果r>1一罢，且M的第二基本形式模长平方S(n一1)业三+兰i寻．是否M等距于一个全脐超曲面或M等距于黎曼乘积s(r=)×s一(c)?这里C2=—n-2，．我们知道Cliford环面s(、)×s一(、／)是¨(1)中紧致的极小超曲面，且r=n-2和S=(n一1)n(r一-12+2+j寻：n．因此Cheng[3j又提出了如下的一个问题：问题2设

5、M是单位球面sn+(1)中具常数量曲率n(n一1)r(r=n=-T2)的n维紧致超曲面，如果仅有两个不同主曲率且其中之一的重数是1重的，是否一定等距于Cliford环面s(、／／)×Sn-1(、／／)?收稿日期：2005—11—22基金项目：陕两省自然科学基金资助项目(No．2003A02)和陕西省教育厅自然科学基金资助项目(No．03JK215)一mall：牛xysxsscYanoo．COrn．cn维普资讯http://www.cqvip.com6期舒世昌，朱天民：单位球面中紧致超曲面的曲率结构与拓扑性质729Che

6、ng在[3]中指出问题2是开的．对问题1，当r：n-2时，[3】中给出了一个肯定回答，但对一般情况，问题1仍然是开的．最近Cheng[]在假定M具有无限基本群这个拓扑条件下，对上述问题给出了一个部分肯定回答．Chenglj得到：定理A设M是单位球面s+(1)中具无限基本群且数量曲率为n(n一1)r的n维紧致超曲面，如果r嚣号且Sn一1)．n—r-=．12)+2+而n可-2，则M等距于黎曼乘积S1(r=)×Sn-1(c)，这里c。：n-2．定理B设M是单位球面s+(1)中具无限基本群的n维紧致超曲面，如果M的截面曲率非负

7、，则等距于黎曼乘积S(、／／1一c。)×Sn-1(c)，这里c。=n-2．显然，定理A和定理B只对具无限基本群的超曲面M进行了分类，若M的基本群有限时，M的分类如何，其拓扑性质如何，仍然是一个有趣的问题．本文试图继续研究上述问题，我们利用Lawson和Simons关于稳定k维流的不存在性的一个同调群消失定理证明了若M的基本群有限时，M微分同胚于一个球面空间型或M同胚于一个球面．从而给出问题1一个拓扑回答．对于问题2，我们证得问题2为真只要M的第二基本形式是平行的，我们得到：定理1设M是单位球面sn+(1)中的数量曲率为

8、n(n—1)r的n(n3)维紧致连通定向超曲面，如果r署且M的第二基本形式模长平方S(佗一1)n(r-1)+2+i，则(1)⋯M的基本群有限，且n=3时，M微分同胚于一个球面空间型，n4时M同胚于一个球面；或(2)M等距于黎曼乘积s()×Sn-1(c)．这里c。：—n-2．．定理2设M是单位球面s“+(1)中的n维紧致超曲面，如果