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《考虑表面效应的纳米矩形薄板挠度解析解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第36卷第6期吉首大学学报(自然科学版)Vol.36No.62015年11月JournalofJishouUniversity(NaturalScienceEdition)Nov.2015文章编号:10072985(2015)06004004∗考虑表面效应的纳米矩形薄板挠度解析解姜礼鑫,曹高峰,林浩(中国石油大学(华东)储运与建筑工程学院,山东青岛266580)摘要:将表面弹性理论引入到纳米薄板承受外载荷的变形分析之中,根据薄板的小变形理论建立考虑表面效应的纳米薄板弹性微分方程.采用级数展开法,求出承受均布载荷的四边简支板、两对边承受正对称分布弯矩的四边简支板和两
2、对边承受反对称分布弯矩的四边简支板的挠度解析解.关键词:表面效应;Young-Laplace方程;表面残余应力;表面弹性;挠度中图分类号:O48文献标志码:ADOI:10.3969/j.cnki.jdxb.2015.06.010为了成功地设计和开发出满足需要的纳米器件,需要更深入地了解材料和结构在纳米级尺寸下的力[1][2]学行为.研究纳米结构的本质特征最直观、最有效的方法是纳米尺度下的力学实验.相关研究结果表明,纳米结构的力学行为与一般结构的力学行为有明显的不同.宏观尺度下,材料和结构的表面积与体积比较小,表面积效应对材料和结构变形的影响远远小于体积效应的影响.
3、因此,大尺寸的材料和结构只考[34]虑体积效应就能满足精度要求,但对尺寸达到纳米级的材料和结构,其表面效应的影响不可忽略.只考虑体积效应建立起来的经典弹性力学理论必须加以修正后才能应用到纳米结构中.基于连续介质力学,Gurtin等提出了考虑表面积效应的弹性理论,与实验结果非常吻合,该理论目前已得到广泛采用.[5][6]HEJin等基于梁的表面层模型对纳米线发生静态弯曲时的变形进行了深入研究.JIANGLY等将此[7]理论推广到了Timoshenko梁,并综合讨论了表面弹性和残余表面应力对于梁的影响.ZHAODM等基于经典的Euler-Bernoulli梁理论,考虑
4、表面效应之后对梁的本构关系进行修正,画出了新的弯矩图和剪力[8][910]图.LIUJL等提到了纳米尺度下表面弹性理论应用的新进展.LIUJL等在考虑了表面效应之后,讨论了不同边界条件下纳米线的大变形行为,并对梁的粘附问题也作了深入研究.笔者以Gurtin等提出的表面弹性理论为基础,建立考虑表面效应的弹性微分方程,在此基础上分析纳米级薄板在各种边界条件下的弯曲变形.1纳米级矩形薄板挠度理论解析解1.1两对边简支纳米矩形厚板承受均布载荷q的纳米矩形板(图1),长边为a,短边为b,qs为考虑表面效应引起的压力.基于Gurtin的表面弹性理论,可以得到纳米矩形薄板的控制
5、方程为44422■w■w■wæ■w■wö24+222+4-α2+2=Q.(1)■x■x■y■yè■x■yø∗收稿日期:20150826基金项目:国家自然科学基金资助项目(11272357)作者简介:姜礼鑫(1981—),男,山东黄岛人,中国石油大学(华东)储运与建筑工程学院硕士生,主要从事微纳米力学研究.第6期姜礼鑫,等:考虑表面效应的纳米矩形薄板挠度解析解413q2τ0Eh其中:Q=,α2,D′==2+D′D′12(1-υ)(λss)h2+2μ,E为弹性模量,υ为泊松比,h为薄板2的厚度,λs和μs为表面拉梅常数,τ为无应变条件0下的表面残余应力.该简支板的两对
6、边(x=0,x=a)的边界条件为2■w图1考虑表面效应的纳米矩形薄板w=0,2=0.考虑矩形薄板的这种构型,设其挠度■x∞mπx2w=∑Ymsin.当α≠0,即τ0≠0时,(1)式的解为m=1a∞w=∑(Amsinh(pmy)+Bmcosh(pmy)+Cmsinh(qmy)+m=1Dmcosh(qmy)+fm(y))sin(pmx),mπ其中p,q22m=m=pm+α.a1.2四边简支纳米矩形薄板2■w对于四边简支的纳米矩形薄板,其两对边(x=0,x=a)简支边界条件为w=0,2=0,另外两边■x2■w(y=+b/2,y=-b/2)简支边界条件为w=0,22=0.
7、类似地,当α≠0,即τ0≠0时,(1)式的解为■y∞224q1æqmpmöw=∑221-2cosh(pmy)+2cosh(qmy)sin(pmx),πD′m=1,3,5,…mpmqmèαAαBøæpmböæqmbö其中A=cosh,B=cosh.è2øè2ø对于两边受正对称分布弯矩的纳米矩形薄板,当α2≠0,即τ0≠0时,(1)式的解为∞Emæ11öw=∑2cosh(pmy)-cosh(qmy)sin(pmx),m=1DαèABø2a其中Em=f(x)sin(pmx)dx.a∫0对于两边受反对称分布弯矩的纳米矩形薄板,其求解方法与对称情况完全相同,当α2≠0,即τ
8、0≠0时,
