总复习总24(6.17)

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1、《线性代数》总复习第一章教学要求：1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质。2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。3．理解克莱姆法则及其应用。n阶行列式的计算方法很多，除直接按定义计算外，一般还有下列方法：1．利用行列式的性质化为三角形行列式计算法2.降阶展开法行列式的计算第二章教学要求：1．理解矩阵的概念。2．了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质。3．掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律，了解方阵的幂、方阵乘积的行列式。4．理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件

2、，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆。5．掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，掌握用初等变换求逆矩阵的方法；及求矩阵的秩的方法。6．了解分块矩阵及其运算。第三章教学要求：1．了解n维向量的概念。2．理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用有关向量组线性相关、线性无关的重要结论。3．了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和求向量组的极大线性无关组及秩。4．了解向量组等价的概念，了解向量组的秩与矩阵秩的关系。重要结论2重要结论15．理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及

3、非齐次线性方程组有解的充分必要条件。6．理解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念及求法。3．理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。4．掌握用行初等变换求非齐次线性方程组通解的方法。Ax=br(A)=r(A,b)=n有唯一解r(A)r(A,b)无解齐次方程的基础解系克拉默法则，r(A)=r(A,b)

4、未知量step5.写出同解方程step6.求出基础解系step7.写出通解怎样选择？怎样求？齐次线性方程组求解过程step1.增广矩阵初等行变换化为行阶梯形矩阵step2.讨论方程组的解step3.（无穷解时）进一步将矩阵化为各首非零元为1，所在列其余元素为零的矩阵step5.求出非齐次线性方程组的特解step7.求出齐次线性方程组的通解step8.写出非齐次线性方程组的通解怎样求？非齐次线性方程组求解过程step4.写出非齐次线性方程组的同解方程组step6.写出齐次线性方程组的同解方程组第四章教学要求：1．理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求

5、矩阵的特征值和特征向量。2．了解相似矩阵的概念、性质及掌握矩阵可相似对角化的充分必要条件。3．掌握用相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的方法。结论4．了解内积的概念，掌握线性无关向量组标准规范化的施密特正交化方法。向量的单位化等。第五章教学要求：1．掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解二次型秩的标准形、规范形的概念，了解正、负惯性指标（数）。2．掌握化二次型为标准形的方法（配方法）。3．会判定二次型和对应矩阵的正定性等。化二次型为标准形的方法二次型不出现平方项，只有xixj的乘积项.平方项系数至少有一个不等于零。判别n元实二次型正定的充要条件是：

6、1）A是正定矩阵2）f的正惯性指数为n3）f的规范形为4）f的标准形5）存在可逆矩阵C，使实对称矩阵A=CTC6）实对称矩阵A合同于I7）实对称矩阵A的n个特征值全大于零。课程全部结束预祝大家取得好成绩充要条件1线性相关一般情况当向量个数＝向量维数相应的齐次线性方程组x1a1+x2a2+…+xmam＝θ有非零解系数行列式D＝0线性无关相应的齐次线性方程组x1a1+x2a2+…+xmam＝θ只有唯一零解系数行列式D≠0充要条件2线性相关其中至少有一个向量可以由其余m-1个向量线性表示线性无关其中每一个向量都不能由其余m-1个向量线性表示部分与整体长短变化向

7、量个数与维数线性相关部分相关=>整体相关缩短不变性若向量组中向量个数＞向量维数必线性相关线性无关整体无关=>部分无关加长不变性Rn中，任一无关组向量个数≤向量维数n向量组a1,a2,···,am线性无关，而添加β形成的向量组a1,a2,···,am,β线性相关，则β可由a1,a2,···,am线性表示，且表示唯一。结论1结束计算问题1）怎样求矩阵A的秩？------行、列则秩（A）＝行阶梯形矩阵中非零行的行数－－最常用2）怎样求向量组的秩？------行、列⑴以向量组中各向量作为列向量，构成矩阵A；⑵求出矩阵A的秩，也即原向量组的秩3）怎样判断向量组的相

8、(无)关性？------行、列⑴求出秩（）＝r⑵比较r与s的大小r=s线性无关r