第47节 双曲线

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1、实用标准第六节双曲线1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M

4、

5、

6、MF1

7、－

8、MF2

9、

10、＝2a}，

11、F1F2

12、＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<

13、F1F2

14、时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝

15、F1F2

16、时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>

17、F1F2

18、时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴

19、：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：顶点坐标：文案大全实用标准A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长

20、A1A2

21、＝；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长

22、B1B2

23、＝；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　)(2)方程－＝1(mn＞0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)(3)双曲线方程－＝λ

24、(m＞0，n＞0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　)(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　)(5)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与－＝1(a＞0，b＞0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√文案大全实用标准2．双曲线－＝1的焦距为(　　)A．5　　　　　　　　　　B.C．2D．1解析：选C　由双曲线－＝1，易知c2＝3＋2＝5，所以c＝，所以双曲线－＝1的焦距为2.3．(教材习题改编)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为(　　)A．x2－＝1B.－y2＝

25、1C．x2－＝1D.－＝1解析：选A　设要求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由椭圆＋＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，在x轴上的顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)．所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线标准方程为x2－＝1.4．(2017·北京高考)若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________.解析：由已知可得a＝1，c＝，所以e＝＝＝，解得m＝2.答案：2文案大全实用标准5．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若

26、PF1

27、＝9，则

28、PF2

29、＝________.解析：由题意知

30、PF1

31、＝9＜a＋

32、c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有

33、PF2

34、－

35、PF1

36、＝2a＝8，故

37、PF2

38、＝

39、PF1

40、＋8＝17.答案：176．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________.解析：∵双曲线的标准方程为－＝1(a＞0)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴a＝5.答案：5　　　　[考什么·怎么考]高考对双曲线标准方程的考查主要有两个方面：一是根据题设条件求双曲线的标准方程；二是通过双曲线的标准方程求解双曲线的基本量，在选择题、填空题和解答题中均有体现，难度中等偏上.1．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是

41、(　　)A.－y2＝1　　　　　　B.－y2＝1文案大全实用标准C.－＝1D．x2－＝1解析：选B　法一：椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)．设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，因为双曲线过点P(2,1)，所以－＝1，又a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线方程是－y2＝1.法二：设所求双曲线方程为＋＝1(1<λ<4)，将点P(2,1)的坐标代入可得＋＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线方程为－y2＝1.2．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为(　　)A.－y2＝1B．x2－＝1C.－＝1D

42、.－＝1解析：选A　由焦距为2，得c＝.因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，所以＝.又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.3．过双曲线C：－＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为(　　)文案大全实用标准A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：选A　因