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《2015高考数学二轮专题复习题13：空间向量与立体几何（含解析）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、高考专题训练(十三) 空间向量与立体几何(理)A级——基础巩固组一、选择题1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为( )A.B.C.D.解析 设正方体的棱长为2，以D为原点建立如图所示空间坐标系，则＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)，∴cos〈，〉＝－，∴sin〈，〉＝.答案 B2.如图，三棱锥A－BCD的棱长全相等，E为AD的中点，则直线CE与BD所成角的余弦值为( )A.B.C.D.解析 设AB＝1，则·＝(－A)·(－)＝2－·－·＋·＝－cos
2、60°－cos60°＋cos60°＝.∴cos〈，〉＝＝＝.故选A.答案 A3.如图，点P是单位正方体ABCD－A1B1C1D1中异于A的一个顶点，则·的值为( )A．0B．1C．0或1D．任意实数解析 可为下列7个向量：，，，，，，，其中一个与重合，·＝
3、
4、2＝1；，，与垂直，这时·＝0；，与的夹角为45°，这时·＝×1×cos＝1，最后·＝×1×cos∠BAC1＝×＝1，故选C.答案 C4．(2013·山东卷)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1
5、的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为( )A.B.C.D.解析 如图所示，设△ABC的中心为O，SABC＝×××sin60°＝.∴VABC－A1B1C1＝SABC×OP＝×OP＝，∴OP＝.又OA＝××＝1，∴tan∠OAP＝＝，又0<∠OAP<，∴∠OAP＝.答案 B5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( )A.B.C.D.解析 以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图．设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，所以＝
6、(0,1，－1)，＝，设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，则所以所以n1＝(1,2,2)．因为平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，所以
7、cos〈n1，n2〉
8、＝＝.即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.故选B.答案 B6．P是二面角α－AB－β棱上的一点，分别在α，β平面上引射线PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么二面角α－AB－β的大小为( )A．60°B．70°C．80°D．90°解析 不妨设PM＝a，PN＝b，作ME⊥AB于点E，NF⊥A
9、B于点F，如图．因为∠EPM＝∠FPN＝45°，所以PE＝a，PF＝b，所以·＝(－)·(－)＝·－·－·＋·＝abcos60°－a×bcos45°－abcos45°＋a×b＝－－＋＝0.所以⊥，所以二面角α－AB－β的大小为90°.答案 D二、填空题7．已知a＝(2，－1,1)，b＝(－1,4，－2)，c＝(11,5，λ)．若向量a，b，c共面，则λ＝________.解析 由向量a，b，c共面可得c＝xa＋yb(x，y∈R)，故有解得答案 18．已知空间不共面四点O，A，B，C，·＝·＝·O＝0，且
10、
11、＝
12、
13、＝
14、
15、
16、，＝，则OM与平面ABC所成角的正切值是________．解析 由题意可知，OA，OB，OC两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O－xyz，设OA＝OB＝OC＝1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，M，故＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，＝.XkB1.com设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则由得令x＝1，得平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)．故cos〈n，〉＝＝，sin〈n，〉＝＝，tan〈n，〉＝＝.答案 9．已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1
17、，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值为________．解析 如图，建立空间直角坐标系．设DA＝1，由已知条件得A(1,0,0)，E，F，＝，＝，设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，平面AEF与平面ABC所成的二面角为θ，由得令y＝1，得z＝－3，x＝－1，则n＝(－1,1，－3)，平面ABC的法向量为m＝(0,0，－1)，cosθ＝cos〈n，m〉＝，tanθ＝.答案 三、解答题10.如图所示，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝A
18、D＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0<λ≤1)．(1)求证：对任意的λ∈(0,1]，都有AC⊥BE；(2)若二面角C－AE－D的大小为60°，求λ的值．解 (1)证明：如图所示，建立空间直角坐标系D－xyz，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，E(0,0，λa)，∴＝(－a，a,0)，＝(－a，－a，
