2.4.1平面向量数量积 (2)

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1、平面向量的数量积定义：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)

2、λa

3、=

4、λ

5、

6、a

7、(2)当λ>0时,λa的方向与a方向相同；当λ<0时,λa的方向与a方向相反；特别地，当λ=0或a=0时,λa=0运算律：设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：①λ(μa)=(λμ)a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角。OBAθ向量的夹角当θ＝0°时，a与b同向；OAB当θ＝180°时，a与b反向；OABB当θ＝90°时，称a与

8、b垂直，记为a⊥b.OAab我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算W=

9、F

10、

11、S

12、cosθ其中θ是F与S的夹角从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量

13、a

14、

15、b

16、cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·ba·b=

17、a

18、

19、b

20、cosθ定规定:零向量与任一向量的数量积为0。注意：向量的数量积是一个数量。向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？思考：a·b=

21、a

22、

23、b

24、cosθ当0°≤θ＜90°时a·b为正；当90°＜θ≤180°时a·b为负。

25、当θ=90°时a·b为零。重要性质:设是非零向量，方向相同的单位向量，的夹角，则特别地OABθabB1解：a·b=

26、a

27、

28、b

29、cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10例2已知

30、a

31、=5，

32、b

33、=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。a·b的几何意义：OABθ

34、b

35、cosθabB1等于的长度与的乘积。θO投影OθO练习：1．若a=0，则对任一向量b，有a·b=0．2．若a≠0，则对任一非零向量b,有a·b≠0．3．若a≠0，a·b=0，则b=04．若a·b=0，则a·b中至少有一个为0．5．若a≠0，a·b=b·c，则a=c6．若a·b=a·c,则b

36、≠c,当且仅当a=0时成立．7．对任意向量a有√×××××√二、平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：其中，是任意三个向量，注：例3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.例3：求证：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b＝a·a＋b·a－a·b－b·b＝a2－b2.例4例

37、5小结：1.2.可用来求向量的模3.投影作业：4、已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a–5b垂直，a–4b与7a–2b垂直，求a与b的夹角。解：∵（a+3b）⊥（7a–5b）（a–4b）⊥（7a–2b）∴（a+3b）·（7a–5b）=0且（a–4b）·（7a–2b）=0即7a·a+16a·b–15b·b=07a·a-30a·b+8b·b=0两式相减得：2a·b=b2，代入其中任一式中得:a2=b2cosθ=