具有轨道翻转和倾斜翻转的退化异维环分支

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1、刘兴波：具有轨道翻转和倾斜翻转的退化异维环分支奇点分支的单参数反转向量场中存在一个由2-jet确定的开集，使得在该类奇点附近具有可数无穷多个连接两个由这种分支分支出的鞍焦点的异宿环(必为异维环)的向量场在【，中构成剩余集．上述两个结论强有力的说明了具有异维环的系统是“很常见的”，而且异维环的存在性往往隐含着动力学行为的极端复杂性．其他关于异维环问题的讨论可参见文献『24—291及其参考文献．由于退化性的增加，同时具有轨道翻转和倾斜翻转的异维环分支问题的研究结果不多[30]，本文研究了4维系统中同时具有轨道翻转和倾斜翻转的异维环分支问题，与文献f301中的结论

2、相比，由于轨道翻转和倾斜翻转同时作用在同一条异宿轨道上，动力学行为更加复杂．本文所用的局部坐标系法最早由文献『31]在研究一般异宿环分支问题时所创立，文献『19，20，30]利用改进的局部坐标系法进一步研究了伴随轨道翻转或倾斜翻转的奇异环分支问题，本文进一步研究同时具有轨道翻转和倾斜翻转的异维环分支问题，利用改进的局部坐标系法，在异维环的正则管状邻域内建立由不变流形的切向量丛和异维环的主法向丛构成的活动坐标架．由于这样的坐标架本身既继承了相应的不变流形的几何性质(轨道翻转和倾斜翻转性)，又延续了系统内在的包括压缩性和扩张性等动力学性质，故在此坐标架下由方程在

3、异维环的正则邻域内的解映射(全局映射)就变得简洁明了．另一方面通过引入Shilnikov坐标变量和局部规范型给出了扰动系统在平衡点邻域内由系统解所诱导的局部映射．复合两次所得映射，得到了异维环邻域的Poincar6映射和相应的分支方程，讨论了异宿环、同宿环和周期轨道的不存在性、存在性和共存性等问题．下面首先给出本文的基本假设条件．考虑系统=f(z)+g(z，)及其未扰系统乏一．厂()，(1．2)其中r≥5，Z∈Ⅱ，∈，f>2，0≤≤1，夕(，0)=0，f(Pi)=0，g(Pi，)：0，i=1，2，f，g∈C．再作如下假设：(H1)(1．2)具有两个双曲平衡点

4、P1和P2，且对应的线性化矩阵Df(p1)具有单特征值一P{，}，；和，满足一P{<0<入{<增

5、为流形M在P处的切空问．(H4)limt_÷+。。(t)=span{e，ei-，e)，limt--)．-o。(t)=span{e~，e)，limt_÷+。。(t)=span{e，e}，lira一oo()w2=span{e)，其中Cx+是对应于{的单位特征向量．1114中国科学：数学第43卷第11期注1由(H1)可知，P】有一个1维稳定流形和3维不稳定流形，P2有一个2维稳定流形和2维不稳定流形，从而F是一个异维环．由(H2)知，异宿轨道r1是一条横截轨，在微小扰动下可保存．注2通有的情况下，同宿和异宿轨道是沿着弱稳定(弱不稳定)方向进入(离开)平衡点的，因此

6、在(H3)条件下，r2负向发生了轨道翻转．由文献[32]知，当(H4)中第一和二式成立时，ft1(Tr2(t))当t_÷+∞(t_÷一∞)时满足强倾斜性质，即此时稳定流形和不稳定流形都是沿着绝对值大的特征值对应的强方向进入．而当假设(H4)第三式成立时，表明沿着r2，当t+∞时，不稳定流形wg发生了强倾斜翻转，从几何上来讲，此时沿着P1的弱不稳定流形方向进入(见图1)．本文的结构如下：第2节给出系统的规范型，且通过建立局部活动坐标系，建立Poincar~映射，进而确定了分支方程；第3节对分支方程进行分析，得到了异宿轨、同宿轨和周期轨的存在性、共存性和共存区域

7、．2局部坐标系及分支方程本节给出(1．1)在奇点小邻域内的两种规范型，且在r附近建立了Poincar4映射，从而得到了分支方程．我们首先来建立(1．1)在P1点处的规范型．设是点P1的足够小邻域，则在内通过作适当的线性变换将(1．1)化成以下形式：I圣=i()+0(2)，I17=一Pi()+0(2)，I也=}()+0(2)，【={()+0(2)，其中(0)=i，p1(0)=pl，i=1，2，3．根据稳定流形定理可知，上述系统存在局部C稳定流形Wl8{z=(x,y,u,u一)l=()，钆=札(),fi=fi()，(。)=，“(。)=fi(。)=。，考=。>记B

8、}和分别表示球心在=0处的两个球形邻域，且CBC，N