PCG法的理论解释及在结构分析中的应用

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1、第34卷第4期广西大学学报：自然科学版Vo1．34No．42009年8月JournalofGuangxiUniversity：NatSciEdAug．2009文章编号：1001-7445(2009)04-0463-06PCG法的理论解释及在结构分析中的应用李秀梅，吴锋，黄哲华(广西大学土木建筑工程学院，广西南宁530004)摘要：以雅可比共轭梯度法为例，根据盖尔定理，从理论上证明了预处理共轭梯度法在一定条件下会加速，并给出了加速条件。通过预处理技术导出大型稀疏矩阵广义特征值问题求解的一种新加速方法，可提高计算的效率和稳

2、定性。算例结果表明，对于求解大型稀疏线性方程组问题，预处理共轭梯度法及本文特征值新加速方法较传统方法更有优势。关键词：PCG法；理论解释；结构分析；预处理技术中图分类号：TU13；0241．6文献标识码：ATheoreticalexplanationforPCGmethodanditsapplicationinstructuralanalysisLIXiu-mei，WUFeng，HUANGZhe—hua(ColbgeofCivilandArchitectureEngineering，GuangxiUniversity，

3、Nanning530004，China)Abstract：TakingJacobipreconditionedconjugategradient(JPCG)methodasanexample，accord-ingtoGaletheorem，itistheoreticallyprovedthatpreconditionconjugategradient(PCG)methodcanimprovethespeedofcalculationundercertaincondition，andtheaccelerationcond

4、itionofpre-treatmentisgiven．Atlast，anewaccelerationmethodforsolvinggeneralizedeigenvalueoflargesparsematrixesispresentedbymeansofpretreatmenttechnique，whichcanincreasetheeficiencyandstabilityofthecalculation．NumericalresultsshowthatJPCGmethodandthisnewaccelerati

5、onmethodhavemoreadvantagesthantraditionalmethodsforlargesparselinearsystems．Keywords：PCGmethod；theoreticalexplanation；structuralanalysis；preconditioningtechnique大型稀疏线性方程组A=b的高效求解是许多科学与工程计算的核心1-2J，如在土木工程中，高层建筑结构、水工结构、岩土工程、桥梁工程等的有限元或其它数值分析中J，最终往往归结为刚度方程的求解，解方程时间往往

6、占总计算时间的60％以上。随着结构的巨型化和复杂化发展，对结构计算精度的要求也趋于精细化，网格剖分的密度不断提高，方程的规模愈发向大型化和稀疏化发展，传统的直接解法此时就显得无能为力J。迭代法主要是稀疏矩阵与向量相乘运算，可采用稀疏矩阵的压缩存储技术，此时就体现出其优越性。迄今为止已发展出很多种迭代方法，当A为对称正定的大型稀疏矩阵时，共轭梯度法(ConjugateGradientMethod，CG法)因其良好的精度和稳定性被公认是一种好方法，但该法的收敛速度依赖于系数矩阵A的特征值分布的密集程度，分布越集中，收敛速度

7、越快。系数矩阵A的特征值分布的密集程度通常用条件数P㈨=Ax／Ai来描述，条件数越低，迭代收敛的速度越收稿日期：2009-04-07；修订日期：2009-06—15基金项目：广西科学研究与技术开发项目(桂科攻0861001—12)通讯联系人：李秀梅(1968一)，女，辽宁葫芦岛人，广西大学副教授，博士；E—mail：lixiumei_gx@126．corn。广西大学学报：自然科学版第34卷快J。文献[2]指出，当A的条件数p㈨在10左右时，CG法的迭代次数即便远小于方程的阶次，t，也可以获得满意的结果。然而在工程结构中

8、，如板壳、索膜等结构的分析中，存在条件数很大的情况，CG法的收敛速度会大大降低。解决CG法收敛速度问题的最有效途径是对原线性方程组采用预处理技术引，降低条件数以获得更快的迭代速度，即采用预处理共轭梯度法(PreconditionedConjugateGradientMethod，PCG法)，即对A构造一个相似矩阵w，对方程作预处理