2.3.1幂函数的图象、性质与应用课件（人教A版必修1）

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1、基础梳理1．形如y＝xα(α∈R)的函数叫做________，其中α为常数，只研究α为有理数的情形．例如：函数y＝x2，y＝x4的幂函数，而函数y＝2x2不是幂函数．2．幂函数y＝x，y＝，y＝x2，y＝x－1，y＝x3的图象，如右图所示．幂函数3．幂函数的性质(1)过定点：y＝xα恒过定点________．当α＞0时，所有幂函数都过定点________．(2)单调性：当α＞0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调________；当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)的单调________．(3)奇偶性：当α为整数且为奇数时，y＝xα为________；当α为整

2、数且为偶数时，y＝xα为________；当x为分数时可将y＝xα化为根式再判断．3．(1)(1,1)(0,0)和(1,1)(3)递增　递减(3)奇函数　偶函数思考应用1．我们知道，形如y＝xα(其中幂指数α是常数)的函数叫幂函数，而形如y＝ax(其中a是大于0且不为1的常数)的函数叫指数函数，那么指数函数与幂函数的区别在哪里？解析：这两个函数都具有幂指数mn的形式，但幂函数y＝xα中，自变量在底数的位置，而指数函数y＝ax中，自变量在幂指数的位置，这两个函数的自变量所在的位置不同．2．从幂函数的形式：y＝xα来看，它的表达式中只含有一个常数字母，确定一

3、个待定系数通常只要一个条件．若已知幂函数y＝xα过某个定点，你能确定这个幂函数吗？解析：一般来说，由幂函数y＝xα所经过的定点，可以确定这个幂函数．但若只告诉幂函数过原点，那我们只能判断幂指数α>0；若只告诉幂函数过点(1,1)，那告诉的这个点没有任何作用，因为所有的幂函数都过点(1,1)；若只告诉幂函数过点(－1,1),那我们只能判断这个幂指数的图象关于y轴对称，这个幂指数是偶函数．除这三个点之外，由幂函数所经过的定点，可以确定这个幂函数的表达式．3．如何根据幂函数的图象确定幂指数的大小？解析：作直线x＝t(t>1)，它与各幂函数图象相交，交点在第一象

4、限，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．自测自评解析：y＝在x＞0时是增函数，所以a＞c，y＝在x＞0时是减函数，所以c＞b.答案：A1．设则a，b，c的大小关系是()A．a＞c＞bB．a＞b＞cC．c＞a＞bD．b＞c＞a2．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是()A．幂函数B．对数函数C．指数函数D．余弦函数解析：本题考查幂的运算性质f(x)f(y)＝axay＝ax＋y＝f(x＋y).答案：C3．设函数f(x)＝(1)指出函数的定义域；(2)判断函数在定义域上的单调性．幂

5、函数概念的理解应用函数f(x)＝是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．解析：根据幂函数定义得m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合要求，故f(x)＝x3.跟踪训练1．已知函数f(x)＝(2m2＋m)xm2＋m－1为幂函数且是奇函数，则实数m的值是________．利用幂函数的性质比较大小比较下列各组中两个数的大小：点评：利用幂函数单调性比较大小．跟踪训练分析：(1)考查y＝的单调性；(2)考查y＝的单调性；(

6、3)找中间量0,1，从而比较大小；(4)构造中间量31.5.求幂函数的解析式幂函数f(x)的图象过点(3，)，求f(x)的表达式．点评：利用幂函数定义求解析式．跟踪训练3．幂函数f(x)的图象过点(4,2)，则f(9)＝________.3一、选择填空题1．下列所给出的函数中，属于幂函数的是()A．y＝－x3B．y＝x－3C．y＝2x3D．y＝x3－12．在函数y＝，y＝2x2，y＝，y＝－x2，y＝1中，幂函数的个数为()A．1B．2C．3D．4BB1．注意幂函数与指数函数的区别，幂函数中底数是自变量，指数函数中指数是自变量．2．将幂指式写成可以看出x

7、的取值范围．3．比较幂值的大小常用相关函数的单调性.祝您学业有成