双模范畴间同构态射的构造

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1、数学杂志Vo1．35(2015)J．ofMath．(PRC)NO．4双模范畴间同构态射的构造代瑞香，陈全国(1．石河子大学理学院，新疆石河子832003)(2．伊犁师范学院数学系，新疆伊犁835000)摘要：本文研究了双模范畴上的同构态射．利用代数上常用的构造方法，给出了模范畴RrDJ和rDJ的定义及双模范畴TMG和TMGM之间的同构映射和证明过程，将代数上双模范畴的一些重要结论进行了推广．关键词：模范畴；对象类；同构态射MR(2010)主题分类号：16D20；16D90中图分类号：O154．1文献标识码：A文章编号：0255—7797(2015)04—0963—061引

2、言近20年来，随着量子群研究的兴起，Kaplansky某些猜想的解决，Hopf代数理论日臻完善，它的一些推广概念如单子、Hopf单子、缠绕结构等也越来越受到重视．2002年，Moerdijk[1]介绍了张量范畴上的Hopf单子，并研究了Hopf单子的代数结构等性质．双范畴中的圈是在文f2]中由Lack和Street引入的，余圈在某种程度上说是圈的对偶．具体地说，给定双范畴B(见文[2】)，用文『31中的方法可以构造余单子的Eilenberg-Moore双范畴，记作REM(B)．REM(B)中的0一元是指元素对(，)，其中是B中的0一元，c是上的余单子．B中的1一元(P)P

3、)：(C，A)(D，JE})，包含1一元P：AB，2一元P：D·PP·C，并且满足余单子C和D的余积和余单位的条件．B中的2一元：(P，P)(Q，q)，是指2一元：D．PQ，满足P，q的条件和余单子D的余积条件．B中的(右)余圈在文[3]中定义为范畴REM(B)中的余单子．具体地，余圈包含B的0一元，1一元R：—和2一元r：C．RR．C，∈：C．RIA及5：C．(R．R)R，并且满足相应的条件．本文拟在一般双模范畴的基础上引入模范畴R暑和碍的定义，并在双模范畴TMa和MCM之间构造了一个同构态射，且给出了详细的证明过程，从而拓展并丰富Hopf代数及单子的理论知识．2预备知

4、识本节给出本文所需的知识和概念，并引入两个新的范畴R刍和昌．定义2．1[】设是任一范畴，上的单子是指三元结构(，叩)，其中T：C—是函子，：__÷和77：idc-_÷是自然变换，满足·(x)=-T()；x·叼()=idT(x)一·TQIx)，V∈obj(C)．收稿日期：2013．i022接收日期：2014．04．28基金项目：国家自然基金项目(11261063)；石河子大学青年骨干教师培养计划资助(3152)作者简介：代瑞香(1980一)，女，山东曹县，讲师，主要研究方向：环与代数．数学杂志设(T，，叩)为上的单子，一模是指(，r)，其中M∈obj(C)和r：T(M)_一

5、+M为中的态射，使得r．T(r)=r．M；r．?TM=idM．设(M，r)，(N，8)为一模，态射f∈Hom(M，N)称为一线性的，若，·=8·(．厂)．此．厂也称为一模态射．定义2．2[](G，△，E)称为范畴上的余单子，若函子G：C—C及自然变换△：G-_+G0和E：G__÷da，满足G△．A=△G．△；eG．A=Ge．△=idG．定义2．3[]设(，，叩)是范畴上的单子，右一模M∈obj(C)称为实右一模，若+M：MTM为双射．其逆记作：d+M：M—MT．同样，左一模M∈obj(C)称为实左一模，若_M：TM—M为双射．其逆记作dM：M—}TM．对于范畴上的单子(T

6、，，叩)本身可以看作monoidM范畴End(C)中的一模，其中：—．若≠=，则妨=，这样的单子称为实单子．定义2．4[]设(，，77)是范畴C上的单子，C∈End(C)，T一余单子是指：c为实一双模态射；T一双线态射AG：C—C。，￡c：C—满足：CAc·Ac=AcC·Ac；Cec·Ac一站；Ec·Ac=．实际上，一余单子就是一模范畴上的余单子．定义2．5[5】模范畴f，D：对象类：(M，m)，M为一双模，m：CMMC为一双线性态射，并且满足M△．m：mC．Cm．△M．态射类：设(M，m)，(M，m)∈obj(R(C：))，：(M，m)一(M，m)定义为：M—CM使得△

7、M．=C．△M；Cm·AM·=(C『-Cm)-AM同理可定义f，．定义2．6[。]设为MonoidM范畴上的余单子，右C一圈是指Monoidal范畴Rf，D上的单子，右一余圈是指Monoidal范畴Rf，上的余单子．类似可定义Monoidalf，D上的左C一圈和左C一余圈．3双模范畴间同构映射的构造本节在模范畴Rf，和f，的定义及圈和余圈的知识的基础上，在双模范畴TMG和TMM之间构造了一个函子，并在其对象的同态范畴之间定义了同构态射．定理3．1设∈：CM—为一余单子态射，则有函子：MGMTMe，(py)一(y∈．y)，，H．