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1、第9章信道的纠错编码信道编码的概念线性分组码循环码1信道编码的纠错原理信道编码的目的：提高系统的可靠性实现方法：增加冗余度信道编码的纠错原理根据一定的规律在待发送的信息码元中人为的加入一些冗余码元，这些冗余码元与信息码元之间以某种确定的规则相互关联（约束）。在接收端按照既定的规则检验信息码元与监督码元之间的关系。如果传输过程出错，则信息码元与监督码元之间的关系将受到破坏，从而可以发现错误乃至纠正错误。————纠错码2纠错码的分类按功能分：检错码：仅能检测误码。纠错码：可纠正误码。按信息码元与监督码元之间的检验关系分：线性码：满足线性关系。非线性码：不存
2、在线性关系。按信息码元在编码后是否保持原形式：系统码：信息码元与监督码元在分组内有确定位置，编码后的信息码元保持位置不变。非系统码：信息位打乱，与编码前位置不同。3纠错码的分类按信息码元与监督码元之间的约束方式不同分：分组码：将信息码元分为k位一组，每组相互独立，再按编码规则变成n位码（n>k)，其中n-k=r位为监督码元，我们称之为（n,k)分组码。本码组的监督码元仅和本码组的信息码元相关。卷积码：本码组的监督码元不仅和本码组的信息码元相关，而且与前面码组的信息码元有关。4错误图样⑴当系统无干扰时R=C⑵当系统有干扰时R=C+E其中，E称为信道的错误
3、图样，E=(e0,e1,…,en-1)；ei∈{0,1}；当ei=1，则第i位上有错；反之，无错。例：C=00101101E=01001001R=01100100由信道的对称性可知p(0/1)=p(1/0)=p(e=1)=p反之，若已知R，E则可求出C，这就是纠错码的原理，如：E=01001001R=01100100C=001011015检错与纠错的原理⒈编码效率设：信息码长度为k，经信道编码后长度为n，则我们定义编码效率R为：R=k/n⒉几种简单的检纠错码奇/偶校验码——检错码重复码——纠错码6检错与纠错方式和能力⒈检纠错方式FEC（前向纠错）——纠
4、错ARQ（自动请求重发）——检错⒉几个概念汉明距离/距离：在线性码中，两个码字U、V之间对应码元位上符号取值不同的个数，称为码字U、V之间的汉明距离。例如：(7,3)码的两个码字U=0011101,V=0100111，它们之间第2、3、4和6位不同。因此，码字U和V的距离为4。线性分组码的一个码字对应于n维线性空间中的一点，码字间的距离即为空间中两对应点的距离。7检错与纠错方式和能力最小码距：在码集合中，任两个码字间的距离为最小时，该码距即为码集合的最小码距。码字的重量：码字中非0码元符号的个数，称为该码字的重量，又称为汉明重量。码的最小重量：线性分组
5、码CI中，非0码字重量最小值，叫做码CI的最小重量：Wmin=min{W(V),V∈CI,V≠0}最小码距与最小重量的关系：线性分组码的最小码距等于它的最小重量。8检错与纠错能力--1最小码距与纠错能力的关系：定理：(n,k)线性码能纠t个错误的充要条件是码的最小距离为dmin=2t+1或t=(dmin－1)/2V’9检错与纠错能力--2最小码距与检错能力的关系：定理：(n,k)线性码能够发现e个错误的充要条件是码的最小距离为dmin=e+1或e=dmin－1V’e10检错与纠错能力--3最小码距与检、纠错能力的关系：定理：(n,k)线性码能纠t个错误
6、，并能发现e个错误(e>t)的充要条件是码的最小距离为dmin=t+e+1或t+e=dmin－1eV’V’’11线性分组码一、线性分组码的描述线性分组码是同时具有分组特性和线性特性的纠错码。定义：一个（n,k）线性分组码C是称为码字c的n维向量的集合。式中：为消息矢量，是一个k行n列的秩为k（n﹥k)的矩阵，我们称它为线性码的生成矩阵。第一种编码方法12线性分组码例：（4,3）偶校验码是一个（4,3）线性分组码，其生成矩阵为求消息码010，110所对应的线性码。解：13线性分组码将消息码直接代入有：思考：此码是否为系统码？14线性分组码二、线性分组码的
7、性质及定理当消息码为零向量0…0，所得的码字为零码字0…0。线性分组码的封闭性：线性分组码中任意两个码字之和仍然是该码的码字。G中每一行gi=(gin-1,gin-2,…,gi0)都是一个码字；对每一个信息组m，由矩阵G都可以求得(n,k)线性码对应的码字。信息码组长k位，有2k个不同的信息码组，则有2k个码字与它们一一对应。在由(n,k)线性码构成的线性空间Vn的k维子空间中，一定存在k个线性独立的码字：g0,g1,…,gk-1，码Ci中其它任何码字C都可以表为这k个码字的一种线性组合，即15线性分组码16线性分组码三、线性分组码的监督阵⒈线性分组码
8、的监督阵编码就是给已知信息码组按预定规则添加监督码元，以构成码字。在k个信息码元之后附加r(r
