IIR数字滤波器的原理及设计

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1、第6章IIR数字滤波器的原理及设计6.1概述6.1.1IIR数字滤波器的差分方程和系统函数我们已经知道IIR数字滤波器是一类递归型的线性时不变因果系统，其差分方程可以写为：（6.1）进行z变换，可得：于是得到IIR数字滤波器的系统函数：(6.2)6.1.2IIR数字滤波器的设计方法对(6.2)式的有理函数的分子、分母多项式进行因式分解，可以得到：(6.3)其中ci为零点而di为极点。H(z)的设计就是要确定系数、或者零极点、，以使滤波器满足给定的性能指标。一般有三种方法。1.零极点位置累试法IIR系

2、统函数在单位圆内的极点处出现峰值、在零点处出现谷值,因此可以根据此特点来设置H(z)的零极点以达到简单的性能要求。所谓累试，就是当特性尚未达到要求时，通过多次改变零极点的位置来达到要求。当然这种方法只适用于简单的、对性能要求不高的滤波器的设计。2.借助于模拟滤波器的理论和设计方法来设计数字滤波器模拟滤波器的逼近和综合理论已经发展得相当成熟，产生了许多效率很高的设计方法，很多常用滤波器不仅有简单而严格的设计公式，而且设计参数已图表化，设计起来方便准确。而数字滤波器就其滤波功能而言与模拟滤波器是相同的,

3、因此，完全可以借助于模拟滤波器的理论和设计方法来设计数字滤波器。在IIR数字滤波器的设计中，较多地采用了这种方法。3.用优化技术设计系统函数H(z)的系数、或者零极点、等参数，可以采用最优化设计方法来确定。最优化设计法的第一步是要选择一种误差判别准则，用来计算误差和误差梯度等。第二步是最优化过程，这个过程的开始是赋予所设计的参数一组初值，以后就是一次次地改变这组参数，并一次次计算H(z)的特性与所要求的滤波器的特性之间的误差，当此误差达到最小值时，所得到的这组参数即为最优参数，设计过程也就到此完成。

4、这种方法能够精确地设计许多复杂的滤波器，但是往往计算很复杂，需要进行大量的迭代运算，故必须借助于计算机，因而优化设计又叫做IIR滤波器的计算机辅助设计(CAD)。第一种方法的算法简单、设计粗糙，在这里不具体讨论了；第三种方法所涉及的内容很多，并且需要最优化理论作为基础，因此在本章中只能作简要介绍；本章将着重讨论用得最多的第二种方法。6.1.3借助于模拟滤波器的理论和方法的设计原理利用模拟滤波器来设计数字滤波器，要先根据滤波器的性能指标设计出相应的模拟滤波器的系统函数Ha(s)，然后由Ha(s)经变换

5、而得到所需要的数字滤波器的系统函数H(z)。常用的变换方法有冲激响应不变法和双线性变换法。6.2模拟低通滤波特性的逼近模拟滤波器的设计包括逼近和综合两大部分，其中逼近部分是与数字滤波器的设计有关的。本节要讨论的是，在已知模拟低通滤波器技术指标的情况下，如何设计其系统函数Ha(s)，使其逼近所要求的技术指标。模拟系统的频率响应Ha(jΩ)是冲激响应ha(t)的傅里叶变换，Ha(jΩ)的模表征系统的幅频特性，下面要讨论如何根据幅频特性指标来设计系统函数。图6.1中用虚线画出的矩形表示一个理想的模拟低通滤

6、波器的指标，是以平方幅度特性

7、Ha(jΩ)

8、2来给出的。Ωc是截止频率，当0≤Ω<Ωc时，

9、Ha(jΩ)

10、2=1，是通带；当Ω>Ωc时，

11、Ha(jΩ)

12、2=0，是阻带。图6.1中的实的曲线表示一个实际的模拟低通滤波器的平方幅度特性，我们的设计工作就是要用近似特性来尽可能地逼近理想特性。通常采用的典型逼近有Butterworth逼近、Chebyshev逼近和Cauer逼近（也叫椭圆逼近〕。6.2.1Butterworth低通滤波特性的逼近对于Butterworth滤波器有：（6.4）满足此平方幅度特性

13、的滤波器又叫做B型滤波器。这里N为正整数，为B型滤波器的阶次，为截止频率。6.2.1.1B型滤波特性1.最平坦函数B型滤波器的幅频特性是随增大而单调下降的。在=0附近以及很大时幅频特性都接近理想情况，而且在这两处曲线趋于平坦，因此B型特性又叫做最平坦特性。2.3db带宽由(6.4)式可知，当Ω=Ωc时，=，而因此截止频率又叫做3db带宽或者半功率点。图6.1Butterworth低通滤波器的平方幅度特性3.N的影响在通带内，0<(Ω/Ωc)<1，故N越大，随增大而下降越慢；在阻带内，(Ω/Ω

14、c)>1，故N越大，随增大而下降越快。因此，N越大，B型滤波器的幅频特性越接近理想的矩形形状；而不同的N所对应的特性曲线都经过Ωc处的半功率点。离Ωc越近，幅频特性与理想特性相差越大。6.2.1.2由得到Ha(s),B型滤波器的极点由于Ha(s)是s的实系数有理函数，故有：，令s=jΩ,则有：，而(6.5)由(6.4)式和(6.5)式有：用s代替上式中的j:(6.6)图6.2阶次N对B型特性的影响(6.6)式的极点为：p=0,1,…,2N-1作为–1的2N次方根，