1.3.2秦九邵算法

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1、秦九韶算法[问题1]设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值的算法,并写出程序.x=5f=2＊x^5-5＊x^4-4＊x^3+3＊x^2-6＊x+7PRINTfEND程序点评:上述算法一共做了15次乘法运算,5次加法运算.优点是简单,易懂;缺点是不通用,不能解决任意多项多求值问题,而且计算效率不高.知识探究(一):秦九韶算法的基本思想思考2:在上述问题中，若先计算x2的值，然后依次计算x2·x，(x2·x)·x，((x2·x)·x)·x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，，

2、那么一共做了多少次乘法运算和多少次加法运算？9次乘法运算，5次加法运算.第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数减少了,因而能提高运算效率.而且对于计算机来说,做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得多,因此第二种做法能更快地得到结果.思考3:能否探索更好的算法,来解决任意多项式的求值问题?f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7=((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7=((((2x-5)x-4)x+3)

3、x-6)x+7v5=v4x+7=534×5+7=2677v4=v3x-6=108×5-6=534v3=v2x+3=21×5+3=108v2=v1x-4=5×5-4=21v1=v0x-5=2×5-5=5v0=2所以,当x=5时,多项式的值是2677.这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法.5次乘法运算，5次加法运算.思考4:利用最后一种算法求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值，这个多项式应写成哪种形式？f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+

4、…+a2x+a1)x+a0=((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0=…=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.思考4:对于f(x)=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0，由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤如何？第一步，计算v1=anx+an-1.第二步，计算v2=v1x+an-2.第三步，计算v3=v2x+an-3.…第n步，计算vn=vn-1x+a0.思考5:上述求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的值

5、的方法称为秦九韶算法，利用该算法求f(x0)的值，一共需要多少次乘法运算，多少次加法运算？思考6:在秦九韶算法中，记v0=an，那么第k步的算式是什么？vk=vk-1x+an-k(k=1，2，…，n)n次乘法运算，n次加法运算知识探究(二):秦九韶算法的程序设计思考1:用秦九韶算法求多项式的值，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤如何设计？第一步，输入多项式的次数n，最高次项的系数an和x的值.第二步，令v=an，i=n-1.第三步，输入i次项的系数ai.第四步，v=vx+ai，i=i-1.第五步，判断i≥0是

6、否成立.若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v.思考3:该程序框图对应的程序如何表述？开始输入n，an，x的值v=anv=vx+ai输入aii≥0？i=n-1i=i-1结束是输出v否INPUT“n=”；nINPUT“an=”；aINPUT“x=”；xv=ani=n-1WHILEi>=0INPUT“ai=”；bv=v*x+bi=i-1WENDPRINTvEND例3阅读下列程序，说明它解决的实际问题是什么？INPUT“x=”；an=0y=0WHLEn<5y=y+(n+1)*a∧nn=n+1WENDPRINTyEND

7、求多项式在x=a时的值.小结作业评价一个算法好坏的一个重要标志是运算的次数，如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论算法.在多项式求值的各种算法中，秦九韶算法是一个优秀算法.