《件根轨迹》PPT课件

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1、4-1根轨迹法的基本概念4-2根轨迹绘制的基本法则4-3广义根轨迹4-4系统性能的分析第四章线性系统的根轨迹法本章主要内容：本章阐述了控制系统的根轨迹分析方法。包括根轨迹的基本概念、绘制系统根轨迹的基本条件和基本规则，参数根轨迹和零度根轨迹的概念和绘制方法，以及利用根轨迹如何分析控制系统的性能等内容。本章重点：掌握控制系统根轨迹所揭示出的系统极、零点对系统性能的影响，熟练掌握系统根轨迹图的作图步骤，会根据系统的根轨迹分析系统的性能。4-1根轨迹法的基本概念根轨迹法是分析、设计线性定常控制系统的图解方法，也是经典控制理论中的基本方法之一。1948年，伊凡

2、思(W.R.Evans)根据闭环系统中开环传递函数和闭环传递函数之间的内在联系，提出了求解闭环特征方程根的比较简便的图解方法，这种方法称为根轨迹法。因为根轨迹法直观形象，所以在控制工程中获得了广泛应用。一、根轨迹概念根轨迹：根轨迹是开环系统某一参数（如根轨迹增益）从零变化到无穷时，闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。设系统如图示二、根轨迹与系统性能1．稳定性稳定性主要是考察根轨迹是否进入右半平面。2．稳态性能系统属于Ⅰ型系统，根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。3．动态性能三、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系前向通路的传递函数为：反馈通路的

3、传递函数为：系统的开环传递函数为：式中：系统闭环传递函数为：由开环传递函数和闭环传递函数的表达式比较，可以得出以下结论：1．闭环系统的根轨迹增益等于开环前向通路根轨迹增益。2．闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递函数的极点组成。3．闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益均有关。根轨迹法的基本思路是：(1)在已知系统开环零、极点分布的情况下，通过图解法绘制出系统的根轨迹；(2)分析系统性能随参数的变化趋势；(3)在根轨迹上确定出满足系统要求的闭环极点位置，补充闭环零点；(4)再利用闭环主导极点的概念，对系统控制性能进行定性分析和定量估算

4、。四、根轨迹方程系统的闭环传递函数为：系统的闭环特征方程为：或写作：将开环传递函数代入可得：根轨迹方程可以用以下两个方程描述：相角条件模值条件例1设开环传递函数为其零、极点分布如图所示。判断s平面上某点是否是根轨迹上的点。4-2根轨迹绘制的基本法则一、绘制根轨迹的基本法则法则1根轨迹的起点和终点：根轨迹起于开环极点，终于开环零点。证明：系统的闭环特征方程为根轨迹的起点：当根轨迹的终点：当例2系统开环传递函数为法则2根轨迹的分支数，对称性和连续性：根轨迹的分支数等于系统特征方程的阶数，根轨迹连续并且对称于实轴。证明：根轨迹是开环系统某一参数从零变化到无穷

5、时，闭环特征方程式的根在s平面上变化的轨迹，因此，根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目一致，即根轨迹分支数等于系统的阶数。实际系统都存在惯性，反映在传递函数上必有n≥m。所以一般讲，根轨迹分支数就等于开环极点数。实际系统的特征方程都是实系数方程，依代数定理特征根必为实根或共轭复根，实根位于复平面的实轴上，共轭复根对称于实轴，因此根轨迹必然对称于实轴。特征方程中的某些系数是根轨迹增益的函数，根轨迹增益从零连续变化到无穷时，特征方程的系数是连续变化的，因而特征根的变化也必然是连续的，故根轨迹具有连续性。法则3根轨迹的渐近线：当系统开环极点个数n大于开环零

6、点个数m时，有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交角为、交点为的一组渐近线趋向于无穷远处，且有证明：根轨迹方程式可写成如下形式：式中左端用二项式定理展开，并取线性项近似有：将代入，利用棣美弗定理可写成：令实部和虚部分别相等，有：从两个方程中解出：也可以写为：这就是渐近线方程，为渐近线斜率，为渐近线与实轴的交点。证毕例3系统开环传递函数为：试根据已知的基本法则，确定绘制根轨迹的有关数据。解：（1）（2）有4条根轨迹的分支，且对称于实轴（3）有n-m=3条根轨迹渐近线趋于无穷远处其渐近线与实轴的交点及交角为：法则4实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环实

7、数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。证明：设s0为实轴上的某一测试点；j是各个开环零点到s0点向量的相角；i是各个开环极点到s0点向量的相角。由图可见,s0点右边开环实数零极点到s0点的向量相角均为。s02311423因为复数共轭零、极点到实轴上的任一点的向量相角之和为2，因此在确定实轴上的根轨迹时，可以不考虑它们的影响。j0s0点左边开环实数零极点到s0点的向量相角为0。s0位于根轨迹上的充要条件是下列相角条件成立:式中(2k+1)为奇数，本法得证。因为这些相角中每一个相角都等于,而与-代表相同角度,于是上式条

8、件可写成:j：s0点之右所有开环实数零点到s0点的向量相角和i：s0点之右所有开环实数