单位力法与超静定

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1、Tuesday,September07,2021材料力学第12章能量法与超静定问题第十二章能量法与超静定问题§12-1概述§12-2杆件变形能的计算§12-3单位荷载法§12-4能量法解超静定问题§12-1概述一、能量方法二、基本原理能量法是求位移的普遍方法，可以求结构上任意点沿任意方向的位移。§12-2杆件变形能的计算1、轴向拉压的变形能2、扭转杆内的变形能纯弯曲横力弯曲3、弯曲变形的变形能θMeMeMeMe4、组合变形的变形能二、变形能的普遍表达式——克拉贝隆原理（只限于线性结构）F--广义力包括力和力偶δ--广义位移包括线位移和角位移§

2、12-3单位荷载法莫尔定理一、莫尔定理的推导求任意点A的位移fAF1F2AA变形能为AF1F2=1F0AF1F2fAF0=11、先在A点作用单位力F0，再作用F1,F2力，2、三个力同时作用时任意截面的弯矩：变形能：(Mohr积分)二、普遍形式的莫尔定理注意：上式中Δ应看成广义位移，把单位力看成与广义位移相对应的广义力.B例题1图示外伸梁，其抗弯刚度为EI.用单位载荷法求C点的挠度和转角.ACqF=qaa2aBAABCa2a1解：xAB:（1）求截面的挠度（在c处加一单位力“1”）CqF=qaa2aRAx1/2BC:BAABCa2aCqF=qa

3、a2aRA1/2xx1BABC:AB:(2)求C截面的转角(在c处加一单位力偶）1xxABCa2axCqF=qaa2aRAx1/2a（）例题2图示为一水平面内的曲杆，B处为一刚性节点,ABC=90°在C处承受竖直力F，设两杆的抗弯刚度和抗扭刚度分别是EI和GIp，求C点竖向的位移.ABCFabxx解：在C点加竖向单位力BC:ABCFabABC1abxxAB:xxABCFabABC1abxx例题3刚架受力如图，求A截面的垂直位移，水平位移及转角.ABCllqAB：BC：解：求A点铅垂位移（在A点加竖向单位力）xxxxABCllqABCll1求A点

4、水平位移（在A点加水平单位力）AB：BC：xxxxABCllqABCll1xx求A点的转角（在A点加一单位力偶）AB：BC：xxABCllqABCll1（）例题4计算图（a）所示开口圆环在P力作用下切口的张开量ΔAB.EI=常数.BAORFF(a)BARPFBARP1解：OO例题5图示为一简单桁架，其各杆的EI相等.在图示荷载作用下，A，C两节点间的相对位移.FaaFABCDE132456789aFaaABCDE132456789aFaaFABCDE132456789a桁架求位移的单位荷载法为1112345678杆件编号90-F-F-FF-2F0

5、10000aaaaaaa02Fa0000A，C两点间的距离缩短.§14-2用力法解静不定结构ABlX1去掉多余约束代之约束反力，得基本静定系X1为多余反力例题6如图所示，梁EI为常数，试求支座反力.qAqB(2)变形条件：B点的挠度为(a)若用11表示沿X1方向的单位力在其作点引起的X1方向的位移由于X1作用，B点的沿X1方向位移是11的X1倍利用上式解出X1AqB(a)式成为力法正则方程1AqB(3)用莫尔定理求Δ1FX1AqBqABx1ABx1(4)用莫尔定理求111ABABxx于是例题7轴线为四分之一圆周的曲杆A端固定，B端铰支（图a

6、).在F作用下，试求曲杆的弯矩图.设曲杆横截面尺寸远小于轴线半径，可以借用计算直杆变形的公式./4/4ABaF解：曲杆为一次超静定，解除多与支座B，得到A端固定、B端为自由端的基本静定系，多余约束力为X1（图b).(a)/4ABFX1(b)当基本静定系上只作用外载荷F时（图c)，弯矩为当在B点沿X1方向作用一单位力时（图d)，弯矩方程为1aABF(c)AB(d)应用莫尔积分，并设曲杆的EI为常量，将1F和11代入解得曲杆任一横截面上的弯矩/4/4ABaF/4ABaF(e)例题8计算图(a)中所示桁架各杆的内力.设各杆的材料相同

7、，横截面面积相等.解：桁架内部有一个多余约束，所以各杆的内力确是超静定的.以杆件4为多余约束，假想的把它切开，并代之以多余约束力X1，得到图(b)所示的相当系统.a435126aFX1X1(a)435126F(b)1F表示杆4切口两侧截面因载荷而引起的沿X1方向的相对位移；11表示切口两侧截面因单位力而引起的沿X1方向的相对位移（图d).力法正则方程11435126435126F(c)(d)由图(c)求出基本静定系在F作用下各杆的内力FNi由图(d)求出在单位力作用下各杆的内力FNi123456杆件编号-F/2a-Faa1-F-F000111

8、aaa-Fa000aaa-F/2F/2F/2应用莫尔定理代入方程后求得由叠加原理可知桁架内任一杆件的实际内力例9试求图示刚架的全部约束反