《MATLAB与差分方程》PPT课件

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1、MATLAB与差分方程西南交通大学数学建模差分方程~离散时段上描述变化过程的数学模型一年期存款年利率为r，存入M，记第k年本息为xkn年后本息为污水处理厂每天将污水浓度降低比例q,记第k天的污水浓度为ck,离散动态过程（系统），实际的变化可以是连续的天后污水浓度降低一半一阶线性常系数差分方程高阶线性常系数差分方程线性常系数差分方程组建立离散动态过程的数学模型;用MATLAB计算数值解;作理论分析(平衡点及其稳定性).差分方程例1濒危物种(Florida沙丘鹤)的自然演变和人工孵化一阶线性常系数差分方程在较好

2、自然环境下，年平均增长率为1.94%在中等自然环境下，年平均增长率为-3.24%在较差自然环境下，年平均增长率为-3.82%如果在某自然保护区内开始有100只鹤，建立描述其数量变化规律的模型，并作数值计算.生态学家估计如果每年人工孵化5只鹤放入该保护区，在中等自然环境下鹤的数量将如何变化?模型及其求解例1濒危物种(Florida沙丘鹤)的自然演变和人工孵化记第k年沙丘鹤的数量为xk，自然环境下年平均增长率为r设每年人工孵化的数量为b，结果分析例濒危物种(Florida沙丘鹤)的自然演变和人工孵化时间充分长后

3、(k→∞)沙丘鹤数量的变化趋势a>1(r>0)时xk→∞,a<1(r<0)时xk→0在中等及较差的自然环境下沙丘鹤将濒于灭绝。人工孵化条件下a<1(r<0)时xk→x=b/(1-a)x=5/0.0324=154.32自然环境下一阶线性常系数差分方程的平衡点及其稳定性差分方程的一般形式差分方程的平衡点~代数方程x=ax+b的根x=b/(1-a)差分方程的解c=x0-b/(1-a)由初始值x0和a、b确定若k→∞时xk→x,平衡点x稳定,否则平衡点x不稳定平衡点稳定的充要条件是a<1高阶线性常系数差分方程的

4、平衡点及其稳定性1,2,…nc1,…,cn由初始值x1,…,xn确定特征方程特征根平衡点差分方程的解平衡点稳定的条件:所有特征根的模小于1高阶线性常系数差分方程例一年生植物的繁殖一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种。没有腐烂、风干、被人为掠去的那些种子可以活过冬天，其中的一部分能在第二年春季发芽，然后开花、产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活过一个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开花、产种，如此继续。一年生植物只能活一年，且近似地认为，种子最多可以活过两个冬天。建立数学模型研究植物数

5、量的变化规律，及它能够一直繁殖下去的条件.模型及其求解例一年生植物的繁殖设一棵植物平均产种数为c,种子能够活过冬天的比例为b,活过冬天的那些种子在来年春季发芽的比例为a1，未能发芽的那些种子又活过一个冬天的比例仍为b,在下一年春季发芽的比例为a2。xk~第k年的植物数量设今年种下(并成活)的数量为x0记p=-a1bc,q=-a2b(1-a1)bc寻找形如xk=k的解设c=10，a1=0.5，a2=0.25，b=0.18,0.19,0.20，x0=100模型及其求解例一年生植物的繁殖特征方程特征根差分方程常

6、数c1,c2由x0,x1确定差分方程的解1,2<1时xk0(k)1,2>1时xk(k)植物能够一直繁殖下去的条件为b>0.191线性常系数差分方程组例汽车租赁公司的运营汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，在一个城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还.在A市租赁在A,B,C市归还的比例分别为0.6,0.3,0.1在B市租赁在A,B,C市归还的比例分别为0.2,0.7,0.1在C市租赁在A,B,C市归还的比例分别为0.1,0.3,0.6公司开业时将600辆汽车平均分配到3个城市，建立运营中

7、汽车数量在3个城市间转移的模型，讨论时间充分长以后的变化趋势.例汽车租赁公司的运营模型及其求解0.10.20.10.10.30.30.70.60.6ABCx1(k),x2(k),x3(k)~第k个租赁期末公司在A,B,C市的汽车数量x(k)=[x1(k),x2(k),x3(k)]Tk012345678910x1(k)200180176176178179179180180180180x2(k)200260284294297299300300300300300x3(k)200160140130125123121

8、121120120120开始时600辆汽车平均分配到3个城市开始时600辆汽车全分配给A市k012345678910x1(k)600360258214195187183181181180180x2(k)0180252281292297299300300300300x3(k)06090105113116118119120120120例汽车租赁公司的运营模型及其求解时间充分长后3个城市的汽车数量趋向稳定，稳定值与初始