从零学相对论连载⑩

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1、2013‘年口4月C0／L＼LEG十EPHYSICS《从零学相对论》连载⑩梁灿彬，曹周键(1．北京师范大学物理系，北京100875；2．中科院应用数学所，北京100190)4．3．4双子效应的实验验证g)读数分别为和f。．暂时忽略地球的引力场，即认事实胜于雄辩．双子问题的长期理论争辩呼唤着为地球附近有平直时空．为便于定量计算，以下的公实验事实的发言．然而载人星际旅行谈何容易!单是式都采用国际单位制．造成可观测的年龄差异所需要的高速目前就无望解决，更何况还有人的生理限制等各种实际问题．注意’，，f—一x到原子钟测量精

2、度的不断提高，自然想到以钟代人，以飞机代飞船．普通飞机环球一周造成的时间差虽然只有10～s的量级，却已可被当时的原子钟精确地测量．于是Hafele和Keating就在1971年借助于商用飞机进行了带钟环球飞行实验，并得出了与理论符合的为结果，特别是证实了飞行钟与地面钟经历的时间的确有所不同(见文献[12])．然而，实验与理论研究毕竟地球表面存在很大差别：理论研究可以约定若干简化前提，而的世界面实验则必须真刀真枪地操作．例如，对双子问题做理图4-21从北极上空俯视地图4论讨论时可以忽略地球引力场并认为地球是惯性系，—

3、22飞机上的钟球·c。不是惯性钟才是惯性钟而实验面对的却是真实的地球，应该充分考虑地球的各种实际情况带来的影响，再通过量级估算决定哪些把地球看作惯性质点，以K一{t，，Y，z}代表地影响非修正不可．估算表明必须计及的是两大因素，球所在的惯性系(其，Y，轴不随地球自转而转动)，即地球的自转(因而不是惯性系)和地球的引力(因引入与之相应的球坐标系{t，r，0，}，则闵氏线元在而要用广义相对论)．为便于理解，先讨论如下的半国际单位制中取如下形式：理想化环球飞行问题．赤道上某实验室有两个已同步ds=一cdt+d+dv+d的

4、铯原子钟c和c。．钟c随着飞机以1600km／h的=一c2dt+dr+r。(dO+sind)．(4-3—1)速率向西飞行，环球一周后返回实验窒与钟c重逢，以和分别代表地球的自转角速率和赤道半试判断两钟读数孰大孰小，并求出读数差．也许你会径，把上式用于c。线的任一元段，注意到赤道上有r不假思索地说：“e钟读数较小，因为它外出做非惯=R，dr=0，0=-rr／2，dO=0及d=／'2dt，得性运动．”但这个答案不对．实验涉及的是个有自转ds。=一cdt+Rd(口：一cdt+}2dt的地球，想象一个惯性观者从北极上空俯视

5、地球(图=一[1一(R}2／c)]cd．(4—3—2)4—21)，则实验室的C钟随着地球的自转而(从西向再以‰代表赤道任一点(相对于惯性系K)的线速东地)做匀速圆周运动，因而不是惯性运动．反之，地率，则1,=RO，故球自转使赤道各点都以1600km／h的线速率向东运ds=一[1一(u。2／c)]cdt。．(4-3—3)动，以同样速率向西飞行的运动恰好与地球自转相抵以前熟悉的几何单位制公式dz=~／'ds在国际单位消，所以飞机(因而e钟)做惯性运动．两钟的世界线制中的形式为d=~／一／c，故由图4—22可知如图4—2

6、2所示．下面计算两钟的读数差．不失一般性，令两钟在分手时(事件P)都指零，重逢时(事件jds河河第4期梁灿彬，等：《从零学相对论》连载①61=y，三—====1线的任一元段有=yo，Yo三—========．·(L4一3—一4)ds=一C2dt+Rd．(4—3—10),／1一(Uo／c)(其中第二步是因为我们取P点的坐标时t=0，从而因d~／dt是飞机的角速率，故飞机的线速率u=Rd／d￡，代入上式得t=．)上式中的／2,0--赤道线速率=16130km／h=—1600xlO3m一444m／s，ds：一cdt~+u

7、2dt：一f、1一c1，c。dt，(4—3—11)上式无非是用Ⅱ代替式(4-3-3)中的“。，所以，把c。或者，用《中国大百科全书》P．59的更准确数据1／,。=465m／s求得线的环球时间表达式(4—3-7)的n。改为“便得C线的环球时间(记作f)：(／L0／c)=[465／(3x10。)]=2．4x10，(4-3-5)Jr=[1一(u／c)。／2]=[1一(R$2+v)／2c]．既然(Ⅱ。／c)如此小，就可把=[1一(“。／c)]展(4-3—12)开为泰勒级数并保留到二阶小项：当=0时还原为"to=[1一(Ig

8、0／c)]兰1一(Uo／c)／2，r。=[1一(R／2c)]=[1一(u。／c)。／2]，(4-3-6)(4-3-7)代人式(4—3-4)给出两式相减给出7。=[1一(11,o／c)／2]．(4-3—7)Jr一

9、r0=一[(2ROv+v。)／2c]／．(4—3—13)由图4—22又知等于地球自转一周的时间(24小上式除以式(4—3—7)得时)，故：24h=2