§23.1圆的认识 (2)

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1、www.czsx.com.cn第23章圆古希腊的数学家认为：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形.”它的完美来自于中心对称，无论处于哪个位置，都具有同一形状.它最谐调、最匀称.与圆的对称性有关联的还有哪些性质呢？你想知道吗？请打开本章吧！§23.1圆的认识1.圆和基本元素在上学期，我们已经学会将收集到的数据用扇形统计图加以描述.图23.1.1就是反映某学校学生上学方式的扇形统计图.图23.1.1我们是先用圆规画出一个圆，再将圆划分成一个个扇形.在图23.1.2中，线段OA、OB、OC都是圆的半径，线段AC为直径.这个

2、以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙O”.-1-www.czsx.com.cn线段AB、BC、AC都是圆O中的弦（chord），曲线BC、BAC都是圆O中︵︵的弧，分别记为BC、BAC，其中像弧BC这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧（minorarc）,像弧BAC这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧（majorarc）.∠AOB、∠BOC等就是我们知道的圆心角（centralangle）.练习1.如何在操场上画出一个很大的圆？说说你的方法.2.比较下图中的三条弧，先估计它们所在圆的半径的大小关系，再用圆规验证你的结论是否正确.2.圆的对称性我们知

3、道圆是一个旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，对称中心即为其圆心.试一试将图23.1.3中的扇形AOB（阴影部分）绕点O逆时针旋转某个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形，你能发现什么？图23.1.3如图23.1.4，扇形AOB旋转到扇形A′OB′的位置.我们可︵︵AB＝A′B′，AB以发现，在旋转过程中，∠AOB＝∠A′OB′，＝A′B′.由于圆心角∠AOB（或孤AB，或弦AB）确定了扇形AOB的大小，所以，在一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧________，所对的弦_________.图23.1.4同

4、样，也可以得到：在一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角_______，所对的弦________.在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角_______，圆心角所对的弧______.-2-www.czsx.com.cn︵︵例1图23.1.5，在⊙O中，AC＝BD，∠1＝45°，求∠2的度数.︵︵解因为AC＝BD，︵︵︵︵AC－BC＝BD－BC，︵︵图23.1.5所以AB＝CD.根据在一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角相等，可得∠2＝∠1＝45°.我们还知道圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，由此我们可以如图23

5、.1.6那样十分简捷地将一个圆2等分、4等分、8等分.图23.1.6试一试如图23.1.7，如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足︵︵为P，再将纸片沿着直径CD对折，比较AP与PB、AC与CB，你能发现什么结论？你的结论是：____________________________________________________________________________________________________________________.练习︵︵1.如图，在⊙O中，AB＝AC，∠B＝70°.求∠C度数.(

6、第1题)（第2题）︵︵︵2.如图，AB是直径，BC＝CD＝DE，∠BOC＝40°，求∠AOE的度数.3.圆周角如图23.1.8所示（2）中的两条线段所成的角叫圆周角（circumferenceangle）.-3-www.czsx.com.cn图23.1.8(1)、（3）、（4）中两条线段所成的角都不是圆周角.思考如图23.1.9，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B），那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看，∠ACB会是怎么样的角？我们可以看到，OA＝OB＝OC，所以△AOC、△BOC都是等腰三角形，因而图23

7、.1.9∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB.又∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°，180所以∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝＝90°.2因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B），∠ACB总等于90°，即半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）．实际上，还有90°的圆周角所对的弦是圆的直径．那么对于一般的圆周角，又有什么规律呢？如图23.1.10，∠ACB、∠ADB都是弧AB所对的圆周角．∠AOB是弧AB所对的圆心角．这几个角有什么关系？试一试（1）分别量一量图23.1.10中弧AB所对的两个圆周角的度数，图23.1.1

8、0比较一下.再变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化.你发现其中有什么规律吗？（2）分别量出图23.1.10中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？我们可以发现，圆周角的度数没