《1.4直角三角形的射影定理》课件3

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1、第4课时　直角三角形的射影定理【课标要求】1．理解直角三角形的射影定理．2．理解直角三角形射影定理的逆定理．【核心扫描】用射影定理解决直角三角形的有关问题．(重、难点)自学导引1．射影的有关概念(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的．(2)线段在直线上的正射影：一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．正射影2．直角三角形的射影定理(1)直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的．(2)符号表示：如图，CD

2、是Rt△ABC的斜边AB上的高，则(1)AC2＝；(2)BC2＝；(3)CD2＝.比例中项比例中项AD·ABBD·BAAD·BD名师点睛1．应用射影定理有两个条件：一是直角三角形；二是斜边上的高．应用射影定理可求直角三角形的边长、面积等有关量，还可研究相似问题、比例式等问题．2．直角三角形射影定理的逆定理如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形．符号表示：如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若CD2＝AD·BD，则△ABC为直角三角形．证明∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°.又∵CD2＝A

3、D·BD，即AD∶CD＝CD∶BD∴△ACD∽△CBD.∴∠CAD＝∠BCD.又∵∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝∠ACD＋∠CAD＝90°，即△ABC为直角三角形．题型一　射影的概念【例1】如图所示，AD⊥BC，FE⊥BC.求点A、B、C、D、E、F、G和线段AB、AC、AF、FG在直线BC上的射影．[思维启迪]要求已知点和线段在直线BC上的射影，需过这些点或线段的端点，作BC边的垂线．解　由AD⊥BC，FE⊥BC知：AD在BC上的射影是D；B在BC上的射影是B；C在BC上的射影是C，E、F、G在BC上的射影都是

4、E；AB在BC上的射影是DB；AC在BC上的射影是DC；AF在BC上的射影是DE，FG在BC上的射影是点E.反思感悟求点和线段在直线上的射影(1)点在直线上的射影就是由点向直线引垂线，垂足即为射影；(2)线段在直线上的射影就是由线段的两端点向直线引垂线，两垂足间的线段就是所求射影．题型二　射影定理的应用【例2】如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E.试证明：(1)AB·AC＝AD·BC；(2)AD3＝BC·BE·CF.[思维启迪]本题第(1)问是利用△ABC的面积相等求得，在第(2)问中，

5、在Rt△BAC中，有AB·AC＝AD·BC，AD2＝BD·DC；在Rt△ADB中，有BD2＝BE·AB；在Rt△ADC中，有CD2＝CF·AC.由这些关系式便可得到待证式．【变式2】如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高线．求证：CD·AC＝BC·AD.证明在Rt△ABC中，∵CD⊥AB，∴CD2＝BD·AD，BC2＝BD·AB，AC2＝AD·AB.∴CD2·AC2＝BD·AB·AD2＝BC2·AD2.∴CD·AC＝BC·AD.反思感悟将困难的、不熟悉的问题转化为容易的、熟悉的问题，体现了化归思想方法，通过恒等变形，找到中间变量来联系前后两

6、个比值，从而达到解题目的．