组合数学卢开澄版答案第一章

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1、１.１　从中找两个数，使其满足（1）；（2）解：（1）根据可得则有共有90种。（2）根据得则：当时，有，，则有6种，，则有7种，，则有8种，，则有9种，，则有10种当时，有，，则有11种，，则有11种.........，，则有11种当时，有，，则有10种，，则有9种，，则有8种，，则有7种，，则有6种故：共1.2（1）先把女生进行排列，方案为5！，然后把女生看成1个人和7个男生进行排列，总方案数为5！×8！（2）女生不相邻，则先把男生进行排列，方案为7！再把女生插入男生之间的8个空位种的任意5个，总方案数为7！×（3）应该是A女

2、生x女生y女生zB,或是B女生x女生y女生zA的形式，从5个女生中选出3人进行排列，方案为，考虑A,B可以换位，方案为2×，然后把这个看成一个整体，和剩下的2个女生，5个男生，一共7个人进行排列，总方案数2××8！1.3m个男生,n个女生,排成一行,其中m,n都是正整数,若（a）男生不相邻（m≤n+1）；（b）n个女生形成一个整体；（c）男生A和女生B排在一起；分别讨论有多少种方案。解：(a)n!p(n+1,m)(b)(m+1)!n!(c)2(m+n-1)!1．426个英文字母进行排列，求X和Y之间有五个字母的排列数？解:排列数

3、为C(24,5)*5！*2*20！1.5求3000到8000之间的奇整数的数目，且没有相同的数字。解：设四位数为n3n2n1n0.由已知可知，n3只能取，3，4，5，6，7，8，n0只能取1,3,5,7,9.分以下两种情况讨论：1.当n3取3，5，7的时候，由于是不能重复的，所以n0只能有4种选择，而剩下的n2,n1分别有8，7种选择。所以符合条件的数，根据乘法原理有：3*4*8*7=672.个2.当n3取4，6，8时，由于是不能重复的,所以n0有5种选择，而剩下的n2,,n1分别有8，7种选择，所以符合条件的数，根据乘法原理有

4、：3*5*8*7=840个所以综上所述，符合条件的数，根据加法原理共有：672+840=1512个1.61*1!+2*2!+3*3!…………+(n-1)*(n-1)!根据公式得1*1!+2*2!+3*3!…………+(n-1)*(n-1)!=n!-11.7试证（n+1）(n+2)…(2n)被除尽。证明：所以（n+1）(n+2)…(2n)能被除尽。1.8求1040和2030的共因数的数目.解:1040=240*5402030=260*530∴1040和2030的公因子有40*30=1200个1.9试证n的平方的正除数的数目是奇数答案

5、：因为n的平方一定是两个数的乘积，一定是两个不同的数的乘积或唯一的一个相同的数的乘积。例如，16可以是1*16，2*8或4*4，前面的都是成对出现的，只有4是一个数，所以他们的和一定是奇数。1.10证明任一正整数n可唯一地表示成如下形式：n=,,证明：对n用数学归纳法①当n=0,1时，0=01!,1=11!。命题成立。②假设对于小于n的非负整数，命题成立。③对于n，设，即由②，对命题成立。设，其中，(原因是而不能等于)，那么，其中，命题成立。再证唯一性：设，不妨设，，即，假设，，，则j=3。那么，因为与前j项相等，上式两边均减去

6、前j项，即，即将上式两边都除以，得可以看出，上式的余数为=与假设矛盾。因此是唯一的1.11求证：nC(n-1,r)=(r+1)C(n,r+1)证明：左边=C(n,1)C(n-1,r)右边=C(r+1,1)C(n,r+1)=C(n,1)C(n-1,r+1-1)=C(n,1)C(n-1,r)=左边所以等式成立。1—12试证:证明:(1+x)=C(n,0)+C(n,1)x+C(n,2)x+…+C(n,n)x两边求导,并令x=1代入n(1+1)=C(n,1)+C(n,2)x+C(n,3)x+…+C(n,n)xn2组合意义:设有n个不同的

7、小球,A,B两个盒子,A盒中恰好放1个球,B盒中可放任意个球.有两种方法放球:第一种:先从n个球中取k个球(k≥1),在从k中挑一个放入A盒,方案数共为,其余放入B盒.第二种:先从n个球中任取一球放入A盒,剩下n-1个球每个球有两种可能,要么放入B盒,要么不放,故方案数为n2,显然相等.1.13：有N个不同的整数，从中取出两组来，要求第一组的最小数大于第二组的最大数。解：本题求取两组数的取法。我们首先从N中去M个数（2<=M<=N）,因为M个数是不同的，所以存在一个递增的序列A=a1,a2,a3,a4……aM(a1

8、a4……