电磁场与电磁波理论基础第二章作业题解答

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1、第二章静电场习题解答题2-1图2-1．已知半径为的导体球面上分布着面电荷密度为的电荷，式中的为常数，试计算球面上的总电荷量。解取球坐标系，球心位于原点中心，如图所示。由球面积分，得到2-2．两个无限大平面相距为d，分别均匀分布着等面电荷密度的异性电荷，求两平面外及两平面间的电场强度。解题2-2图对于单一均匀带电无限大平面，根据对称性分析，计算可得上半空间和下半空间的电场为常矢量，且大小相等方向相反。由高斯定理，可得电场大小为对于两个相距为的d无限大均匀带电平面，同样可以得到题2-3图因此，有2-3．两点电荷和，分别位于和处，求点处的电场强度。解根据点电荷电场强度叠加原理，P点的电场强度

2、矢量为点S1和S1处点电荷在P处产生的电场强度的矢量和，即式中代入得到2-7．一个点电荷+q位于（-a,0,0）处，另一点电荷-2q位于（a,0,0）处，求电位等于零的面；空间有电场强度等于零的点吗？题2-7图解根据点电荷电位叠加原理，有式中代入得到电位为零，即令简化可得零电位面方程为根据电位与电场强度的关系，有要是电场强度为零，必有即此方程组无解，因此，空间没有电场强度为零的点。题2-9图2-9．电场中有一半径为a的圆柱体，已知圆柱内、外的电位为求：（1）圆柱体内、外的电场强度；（2）这个圆柱是由什么材料构成的，表面有电荷吗？解（1）根据电位与电场强度的关系式得到（2）由于圆柱体是等

3、位体，且圆柱内电场为零，判断材料是导体。有根据电位边界条件而所以题2-11图2-11．两无限大平行板电极，距离为d，电位分别为0和U0，两板间充满电荷密度为的介质，如图所示。求两极板间的电位分布和极板上的电荷密度。解由于两无限大平板间存在电荷密度分布，电位函数满足泊松方程。又平板沿Y和Z方向无穷大，电位分布与x和z无关，因此，有且满足边界条件求解二阶常微分方程，得到应用边界条件，有所以根据电位满足的边界条件可得在下极板上表面的电荷密度分布为下极板导体中的电位为零，有代入，得到对于上极板，导体中的电位为常数有上极板下表面电荷密度为题2-15图2-15．空间某区域中的电荷密度在柱坐标系中为

4、（C/m3），应用高斯定理求电通密度D。解根据题意知，电荷密度分布与φ、z无关，因此场分布具有柱对称性，电通密度矢量D仅有分量，由高斯定理取圆柱面为高斯面，有2-17．在真空中放置一无限长线电荷密度为ρl的细金属棒，证明在径向距离上的两点ρ1、ρ2之间的电位差为。题2-17图解首先计算无限长带电金属棒在空间任一点产生的电场。由于线电荷分布无限长，电通密度矢量仅有径向分量，且在同一圆柱面上电通密度矢量的大小相等，根据高斯定理，有由此得到电通密度矢量而电场强度为根据电位的定义，在径向选择一点为参考点，则有2-25．如图所示，电荷Q距离两无限大接地直角平面XY平面的垂直距离为d，距离XZ平面

5、的垂直距离也是d。利用镜像法求任一点P(0,y,z)的电位和电场。题2-25图解两个半无限大导体平面间的夹角，，则所需镜像电荷数为3。首先，移去沿Z轴放置的导体平板，在的空间填充的介质，并在与放置+Q对称的位置上放置等量异号电荷-Q，如图所示。其次，移去Y轴放置的导体板，在的下半空间填充的介质，并在与上半空间放置电荷的对称位置上放置等量异号电荷。利用点电荷叠加原理，得到四个点电荷在P(0,y,z)点产生的电位为验证可得根据唯一性定理，边值问题的解为2-26．设一点电荷q与无限大接地导体平面的距离为d，如图所示。求：（1）上半空间的电位分布和电场强度；（2）导体平面上的感应电荷密度；（3

6、）点电荷所受的力。题2-26图解（1）采用镜像法。移去接地导体板，用ε0的介质填充，并在与+q对称的位置S(0,0,-d)处放置一镜像电荷-q，则上半空间任一点的电位为根据电场强度与电位的关系式，有（2）根据电通密度矢量的边界条件，得到感应电荷分布密度为在导体表面上z=0，R1=R2，令R=R1=R2，得到导体表面的电场强度为因此，有（3）点电荷+q所受的力就是点电荷+q与镜像电荷-q之间的作用力，也就等于点电荷+q与无限大导体板上感应电荷之间的作用力，方向向下，沿方向，即2-27．如图所示，一个沿Z轴很长且中空的矩形金属管，其中三边保持零电位，第四边电位为U，求：（1）当U=U0时，

7、管内的电位分布；（2）当时，管内的电位分布。解题2-27图由于矩形金属管沿Z轴方向无限长，故金属管内电位与z无关，由此得到金属管电位分布的边值问题为令代入拉普拉斯方程，得到X(x)和Y(y)满足的本征方程为常数kx和ky满足由边界条件可得本征函数满足的边界条件为本征函数X(x)在边界上有一个零点，其解应取双曲函数形式本征函数Y(y)在边界有两个零点，Y(y)取三角函数形式根据边界条件，有而显然，D不能为零，否则电位函数恒为零，因此由于得到本征函