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1、第八章微分方程的解我们知道，许多由实际的科学或工程问题推出的数学模型是微分方程或微分方程组，不仅物理学等学科如此，现在它们几乎出现在自然科学、管理科学和工程技术的各个领域，甚至包括传统的实验科学，如化学、生物学、农学等等中。微分方程的特点是未直接表达出变量间的函数关系，而是包含有导数的关系式。与代数方程或方程组的解法相似，微分方程的解法也有解析法和数值法。Mathematica能够用这两种方法来求解微分方程，涉及的命令分别为DSolve命令和NDSolve命令。§8.1微分方程的解析解Mathematica求解常微分方程的解析解法是DSolve命令，它既可用于解一阶常微分方程，也可用于其它阶的
2、微分方程的求解；可以解单个的微分方程，也可以解微分方程组；可求无定解条件的通解，也可求有定解条件时的特解；可求初值问题的解，也可求边值问题的解。其格式为：DSolve[微分方程,y[x],x]：解常微分方程的通解y(x)，其中有积分常数；DSolve[{微分方程,定解条件},y[x],x]：解常微分方程满足定解条件的特解y(x)；DSolve[{微分方程1,微分方程2,…,定解条件1,定解条件2,…},{y1[x],y2[x],…},x]：解常微分方程组满足定解条件的特解y1(x),y2(x),…。要注意的是，微分方程中的一阶导数应写作“y’[x]”，二阶导数写作“y’’[x]”，因变量y应写
3、作“y[x]”。通解中的常数为大写的“C”，并有方括号括住的序号。下面分别举例说明。8.1.1一阶常微分方程的通解例如，求一阶常微分方程的通解，此方程是可分离变量的微分方程。求一阶常微分方程的通解，此式为齐次常微分方程。因方程中有三角函数，故系统警告可能会漏掉一些解。8.1.2一阶常微分方程的特解97例如，解一阶常微分方程初值问题的特解，有已求得微分方程的通解，可在给出常数C的值后，求出特解。例如微分方程的通解为：求C[1]=0.5、1、2时的特解，有又例如，解一阶常微分方程初值问题的特解，有绘出解的图形，8.1.3一阶常微分方程的边值问题DSolve命令也可用来解一阶常微分方程的边值问题，例
4、如对于边值问题8.1.4一阶常微分方程组的解析解97例如，解一阶常微分方程组初值问题，有我们也可以画出特解的图形，8.1.5高阶常微分方程的解析解Mathematica可以解的高阶常微分方程主要是二阶常微分方程，即微分方程中存在着二阶导数。DSolve命令可以解二阶线性常微分方程，它的形式为例如，解二阶常微分方程解二阶常微分方程的通解还可以解二阶常微分方程的边值问题。例如，解，这是一个第一边值问题，有97与下面的第二边值问题比较，实际上是同一个解。又如解二阶常微分方程，这是一个比较复杂的第一边值问题，将结果化简，有解还过于复杂，取其数值解，有97图形为，对于更高阶的常微分方程，绝大多数非线性微
5、分方程都不能用DSolve命令求解，多数变系数微分方程也不能求解，而大多数常系数线性常微分方程是可以求解的。例如，三阶常系数常微分方程初值问题，有又例如，三阶常系数微分方程8.1.6偏微分方程的解析解偏微分方程是自变量个数为2个及两个以上的微分方程，方程式中出现的是偏导数。DSolve命令可以解部分偏微分方程，其格式为：DSolve[偏微分方程,y[x1,x2,…],{x1,x2,…}]：解因变量为y，自变量为x1,x2,…的偏微分方程，偏微分方程中若含有定解条件，则得到特解，若无定解条件，则得到通解。与常微分方程类似，微分方程中的因变量及各阶导数要写作自变量的函数的形式，偏导数可以由基本输入
6、工具栏的偏导数符输入，也可由键盘输入，形式与6.2.3节的偏导数一致。下面举例说明。97例如，解一阶偏微分方程的通解，有或者在Calculus`DSolveIntegrals`程序包中有更多的解偏微分方程的命令，用于解非线性的偏微分方程。例如对于非线性偏微分方程，有高阶的偏微分方程如抛物型方程、双曲型方程和椭圆方程等若使用DSolve命令进行解析求解，需要对原方程进行一些适当的变换，如分离变量等，才能进行，这里不再详述。§8.2微分方程的数值解许多微分方程都没有解析解，或者是解析解十分复杂，不适合工程计算的需要。在这种情况下，如果我们需要的是微分方程的解的数值，那么许多的微分方程都可以用数值解
7、法求解。Mathematica中微分方程的数值解法是NDSolve命令，执行这一命令后，系统并不输出微分方程的数值解，可以使用近似函数InterpolationFunction查询某一点的函数值，并可绘制解的图形，进行积分和微分的运算。NDSolve命令的格式为：NDSolve[{微分方程,定解条件},y[x],{x,xmin,xmax}]：解常微分方程满足定解条件的在区间[xmin，xmax]的
