平面结构的屈曲计算

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1、354黄建亮等：平面结构的屈曲计算*平面结构的屈曲计算黄建亮陈树辉中山大学应用力学与工程系,广州510275摘要平面结构（梁、拱、框架）的屈曲计算在工程设计计算中是十分重要的。本文首先建立了平面梁非线性有限元的单元位移模式、几何方程、物理方程和平衡方程，推导平面梁非线性有限元的切线刚度矩阵。采用Newton-Raphson方法求解非线性方程组。同时采用载荷增量法和位移增量法相结合的方法追踪计算结构的屈曲曲线。典型算例，平面拱的屈曲计算及其力学分析，充分显示上述的方法是十分有效的。关键词屈曲；N-R方法；几何非线性；位移增量法中图分类号O242.211前言[1]对于平面结构的屈曲计算，人们以

2、往大多采用经典的线弹性理论和有限元方法。Kuo（1991）是通过有限元的思想把平面拱分成一段段的直梁来研究，得出的单元矩阵将其线性[2][3,4]化。Touati(1998)利用有限元的思想分析了线弹性梁的屈曲情况。Qaqish研究了两边固支的圆拱，中间受垂直向下载荷时，发生在位移而产生拱屈曲的情况，并对两个用几何非线性的结构系统提出了用线性与非线性分析的差别，但只是限于分析圆拱的情况。本文采用非线性有限元理论研究大位移的平面结构的屈曲计算。2非线性有限元分析利用有限元，将原来的连续的弹性体离散化。同时，把所有作用在单元上的载荷，都移置到结点上，化成为静力等效结点载荷。这样就得到了有限单元

3、法的计算模型，随后便可进行单元的特性分析。2.1位移首先，建立以梁单元结点位移表示单元内任一点位移的关系式。图1表示在局部坐标下的单元。每个结点位移在单元平面内有三个分量，每个单元将有六个结点位移分量，可用列*国家自然科学基金项目(19772075)，中山大学高等学术研究中心基金项目(00M10)资助。黄建亮等：平面结构的屈曲计算355阵表示为Tα=[uuwqwq](1)e121122记TTue=[uu12]，we=[ww11qq22]则(1)式可变为TTTα=[uw](2)eeey12xu1,w1,q1uw22,,q2图1梁单元的结点位移Pb引入单元的形函数。单元体内的轴向位移uN=u，

4、横向位移wN=w，二式再合并可变为eeTUu=[]w=Na(3)ePN0pb其中N=，N是2´1矩阵，N是4´1矩阵。b0N2.2梁单元的应变梁单元的应变包括单元的弯曲应变及单元轴向应变，梁单元的弯曲应变为22b¶¶wbbe==Nw=Bw(4)22e0e¶¶xx2b¶b其中B=N。梁的轴向应变为02¶x2P¶u1¶we=+(5)¶¶x2x其中¶¶uPp¶¶wb==NuBu,=Nw=Gw(6)ee0ee¶¶xx¶¶xx¶bG=N为斜率矩阵。所以得：¶x2¶wTTT==()Gw()Gww×G×G×weeee¶xbTT令：Bw=×G×G。可得Le356黄建亮等

5、：平面结构的屈曲计算2¶wb=Bw(7)Le¶x可推出PbPeB00uuee10BL1e==+=BB+bb0Lae(8)e0B0wwee22002.3梁单元的应力梁的轴向力和弯矩分别为PPbbse==TEA,s==MEIe(9)上述两式可合并为PPseEA0s===De(10)bbse0EI2.4虚功方程根据虚功原理，单元结点外力R在虚位移所做的功等于单元内力在应变所做的功elTTdesdx=da×R(11)∫ee011因为dde=+Ba()dB×a+Bda，其中可证明(

6、)dBa×=B×da，从而得到方程0eLeLeLeLe22lTB×sdx=R(12)∫e0其中BB=+B，把式(10)代入式(12)并展开得0LllTTT1llTT1lB×=sdxx[BDBdd+BDBx+BDBdx+BDBdx]×a=R(13)∫∫000022∫00L∫0LL0∫0Lee记l11lllTTTTKB=DBdx,KB=+DBddxBDBxx+BDBd00∫00NL22∫∫0000LL∫0LL则KK=+K，最后可得单元体的平衡方程0NLKa()×=aR(14)eee3方程的解法3.1Newton-Raphson方法（简称N-R方法）方程(14)也可表示为Y()akº×()aa-

7、R=P()a-R(15)nn+1n+1如果方程(15)式的第n次近似解a已经得到，为得到进一步的近似解a，可将Y(a)表示n成在a附近的仅保留线性项的Taylor展开式，即黄建亮等：平面结构的屈曲计算357nn+1dYnY()aaº+Y()Da=0(16)dan式中d/Yda是切线刚度矩阵ddYPººK(a)(17)Tddaa经推导KK=+[K+K](18)T0LsllTTTT其中KB=+(DBBDB+BDB