带有变量中误差的线性模型

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1、线性在蘖型，娱乏踅量．，‘、誊、●●●I』～带有变量中误差的线性模型—坠墨兰张荣庆j(南京气象学院，南京210044)摘要本文介绍带有变量中谋差(E,ro,s-ln-V~riables-EV)线性模型的定义，模型的可识别4性及模型的参数估计等同题．带有变量中误差(Errors，in，Variables—EV)的线性模型，在理论统计学及其各个应用领域得到越来越多的重视．Bartlett最早考虑到受误差影响的两个变量的直线拟合问题，后来Madanski叫，Acton[嗣，Williamst~，Sprent圈，Stuart鲫，HumakLvl，Moran

2、嘞，Marava11t~，Geracim，Anderson[1l等都研究过该模型，1986年Schneeweiss出了一本504页的德文专著全面系统地论述了有关带有变量中误差的各种模型，模型的可识别性，模型参数的各种估计方法，估计误差，预测和在各领域中的应用等．一、EV一线性模型的定义我们从一个实例出发，Friedman认为当前消费c不直接与当前收入y有关，而与持续固定收入y有关，这是一种期望平均消费能持久的收入，它是一系统变量；而y看作可观测变量；当前收入分为两项：持续收入y和临时收入y；y是随机偏差，与y独立；相应地将当前消费c也分为两项：固定

3、消费c和临时消费c；固定消费c与持续收入Y间有一无误差的线性齐次消费函数关系：C一卢y，C—C+C，y—y+y；记可：一c，：一y，：一y，Y：一c，：一y，：一c，则有，】一船，y一+，一+；由此例(进一步讨论因篇幅所限省略)引出以下模型．代替“真实”变量(或称系统变量)，；而测量到的量是可观测经验变量，井带有误差。，：f仉一++一，{Y一+，f一1，·一，，(1)I一{+．从而有经验变量的回归关系：y一++：”—l，．一，T，(2)．一十sl—f，·通常称，为变量中的误差(或误差变■)，8为方程中的误差；(1)式称为一元EV一模型的基本形式．若

4、误差变量为系统变量的确定性函数，则称为系统测量误差，我们感兴趣的是随机测量误差，故有以下假设：(EI)(．，，8．)独立同分布；(E2)E()一g(w，)一E(E，)一0，()一，()一，(s)一仃；(E3)(，，s)与}独立；(E4)(，)与5独立；(E5)与独立(称为狭义的)，相关(称为广义的)；有如F定义：定义L由(1)和(E1)一(E5)构成一元EV一(线性)模型若系绕变量￡，f—I，一·，独立同分布，则该模型称为结构变式，(此时可省略下标)；若，一1，⋯，是非随机的，则称为函数变式．同样可考虑多元EV一(线性)模型，有定义2．多元EV-(

5、线性)模型由以下(3)式与(E1)一(E5)构成：一+8，(3)x一占-i-，一-t-．其中一(1，⋯，t)，s一(sI，·一，8T)，一(，⋯，)，曰一(}1，⋯，}K)，葡f一(¨⋯，})，i一1，⋯，，Y一(1，-一，yt)，W一(I'---，)，x一(礼，⋯，x)，而一(·一，r．)，i—I，·--，，V一(I，t--，z)，而，一(¨⋯，r)，一1，·一，，且有(E1)(m⋯，，，，8)独立同分布；(E2)()一()一(E，)一0，i一1，⋯，X，Cov(~，，”)一v(w)一，(s)一；(E3)(V，，8)与日独立；(E4)(，)与s独

6、立；(E5)与独立(狭义的)，相关(广义的)．同样也有结构变式与函数变式．二、EV一线性模型的可识别性2．1．一元EV一模型能否根据可观测变量(，)的联合概率分布P及模型所给的条件(EI)一(E5)唯一地得到参数(，)的相容性估计量以及}，和的概率分布F{，F和F的某些特征?对给定的(a，)，弥集合s一(，．Fi⋯FF，)为EV一模型的一个结构；每个结构5唯一确定(#，)的联合概率分布P，称为5诱导出P，记为—P；若另有一与S不周的结构也诱导出(，y)的同一联合概率分布，即S—P且—P，则称S是不可识别的，若捉唯一的S诱导出P，反过来。由P能唯一地

7、确定S，即st—P，称S是可识别的．一般主要对模型中的(，)感兴趣，其次是{，和的概率分布，但又不是对这些概率分布本身，而是对它们的参数，如}，口{和口感兴趣，只要它们存在；因此可识别性问题就转变为能否由经验变量(、y)的联合概率分布P唯一地得到(、)与参数，，和的问题．定义3．一元EV一模型中的参数0称为是可识别的，若对所有一(，，，F：，F二)，一(，，F，F，F)以及P，由．÷P和．÷P，总得一0，其中和0”分别属于和的8参数值．若结构S可识别，则该结构的所有模型参数也可识别，但反之不能以一个模型参数的可识别性推出其结构的可识别性．实际问题常

8、只要求诱导出(、y)的相同的某阶矩，故有以下所谓“M(阶矩)一可识别”的新概念．定义4．某EV一模型的参数日称为是阶矩M．