保持几何连续性曲线形状调配

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1、保持几何连续性的曲线形状调配张宏鑫王国瑾(浙江大学CAD&CG国家重点实验室，浙江大学数学系，杭州，310027)摘要：在形状调配过程中，中间过渡曲线的几何连续性往往是不能保证的．本文从平衡调整的角度出发，利用Bézier曲线的边界性质，研究形状调配中曲线的几何连续特征保持问题．本文着重讨论了线性混合过程中，一阶和二阶几何连续保持条件及相应解决办法；并对n阶情况提出平衡化几何连续条件，从而得出一般的Bézier曲线在形状调配中几何连续的保持方法．此方法适用于计算机动画和工业造型设计．关键词：形状调配，

2、几何连续性，Bézier曲线．ShapeBlendingofCurves:ResearchintoGeometricContinuityPreservingZhangHongxin,WangGuojinStateKeyLaboratoryofCAD&CGandDepartmentofMathematics,ZhejiangUniversity,Hangzhou,310027AbstractInshapeblendingprocess,thegeometriccontinuityofblendingcu

3、rvesisnotalwayspreserved.Inthispaper,basedonasymmetricopinion,thegeometriccontinuitypreservingproblemsofblendingcurvesareinvestigatedbyusingtheboundarypropertiesofBéziercurve.Especially,inthelinearblendingprocess,themaintenanceconditionsofthefirstordera

4、ndthesecondordergeometriccontinuitiesarederived,andseveralsolutionsarediscussed.Thenann–thorderbalancegeometriccontinuityconditionanditsrelativegenericpreservingalgorithmaregiven.Thealgorithmscanbeusedincomputeranimationandindustrydesign.Keywordshapeble

5、nding,geometriccontinuity,Béziercurve.1引言形状调配(ShapeBlending)，又被称作形状混合，是计算机关键帧动画的核心技术．一般指在两关[1,2][3]键帧中插入若干中间帧，产生连续平滑的过渡．在工业造型设计中，EricChen采用对形状调配，[4]以得到更符合实际需求和审美潮流的综合设计．在模式识别中，DeCarlo和Metaxas通过体素之间进行调配混合，加入中间的过渡形状，在提供较少的参数情况下获得较大的表示域．总之，形状调配是计算机图形表示领域中的

6、活跃课题．在关于形状调配的研究中，研究者注重于过渡过程的实现，但对中间过渡形状的性态研究侧重于克服自交和萎缩现象．在评判动画效果的好坏时，常强调根据运动规律找出保证动作平滑和符合[5]自然节奏的运动路径，即注重于各帧画面之间的过渡和衔接自然，但对固定的某一幅中间帧内部，其各种几何元素之间拼合得是否平滑未加以充分的注意和研究．由此就产生了这样的研究课题：在何种条件之下，中间帧画面能保持原有的始终帧内部的几何连续性？我们不妨称这个问题是保持几本课题受国家自然科学基金(No.6997304)，浙江省自然科学

7、基金和国家重点基础研究973项目(No.G1998030600)资助1何连续性的形状调配问题．本文从形状调配的应用背景出发，给出了保持一阶、二阶几何连续的Bézier曲线形状调配条件以及改进的调配方法，进一步给出平衡化的n阶几何连续条件以及在形状调配中的应用．2Bézier曲线与几何连续性假设n次Bézier曲线nnr(t)=∑Bj(t)Pj，(1)j=0nnn−jj3其中B(t)=(1−t)t为n次Bernstein基函数，P∈R为控制顶点,j∈Ζ，Z是整数集．为jjj简化记号，设Z

8、为非负整数集，Z为非正整数集，我们定义控制顶点的向前差分和向后差分：+−∆P=P−P，j∈Z；∇P=P−P，j∈Z；(2)jj+1j+jjj−1−以及k次向前差分和k次向后差分：k(k−1)kk−100∆P=∆∆Pj，∇P=∇(∇P)，∆P=∇P=P，k=1,2,...．(3)jjjjjj由差分算子的线性性质，易知(1)式所示的n次Bézier曲线r(t)在端点处的k阶导矢为：kkdr(0)n!kdr(1)n!k=∆P，=∆P．(4)k0kn−kdt(n