D51定积分概念与性质

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1、第五章定积分积分学不定积分定积分第一节一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的近似计算定积分的概念及性质第五章四、定积分的性质一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.矩形面积梯形面积解决步骤:1)分割：在区间[a,b]中任意插入n–1个分点用直线将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)近似代替：在第i个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得3)求和：4)取极限：令则曲边梯形面积2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.解决步骤:1)分割：将

2、它分成在每个小段上物体经2)近似代替：得已知速度n个小段过的路程为3)求和：4)取极限：上述两个问题的共性:解决问题的方法步骤相同:“近似,代替,求和,取极限”所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限二、定积分定义(P225)任一种分法任取总趋于确定的极限I,则称此极限I为函数在区间上的定积分,即此时称f(x)在[a,b]上可积.记作积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和可积的充分条件:取定理1.定理2.且只有有限个间断点(证

3、明略)例1.利用定义计算定积分解:将[0,1]n等分,分点为注注注.当n较大时,此值可作为的近似值[注]利用得两端分别相加,得即三.定积分的近似计算根据定积分定义可得如下近似计算方法:将[a,b]分成n等份:1.左矩形公式例12.右矩形公式3.梯形公式四、定积分的性质(设所列定积分都存在)(k为常数)当a,b,c的相对位置任意时,例如则有6.若在[a,b]上则证:推论1.若在[a,b]上则推论2.证:即7.设则8.积分中值定理则至少存在一点使证:则由性质7可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.性质7说明:可把故它是有限个数的平均值概念的推广.积分中值定理对

4、因例3.试证:证:设则在上,有即故即内容小结1.定积分的定义—乘积和式的极限2.定积分的性质3.积分中值定理矩形公式梯形公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算抛物线法公式思考与练习1.用定积分表示下述极限:解:或