CH11典型相关分析和协整

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1、CH.11典型相关分析1要点典型相关分析的数学表达方式，假定条件；典型相关系数的数学含义；典型变量系数的数学含义；简单相关，复相关和典型相关的意义；典型相关的应用2一、什么是典型相关分析及基本思想通常情况下，为了研究两组变量的相关关系，可以用最原始的方法，分别计算两组变量之间的全部相关系数，一共有pq个简单相关系数，这样又烦琐又不能抓住问题的本质。如果能够采用类似于主成分的思想，分别找出两组变量的各自的某个线性组合，讨论线性组合之间的相关关系，则更简捷。3在解决实际问题中，这种方法有广泛的应用。如，在工厂里常常要研究产品的q个质量指标和p个原材料的指标之间的相关

2、关系；也可以是采用典型相关分析来解决的问题。如果能够采用类似于主成分的思想，分别找出两组变量的线性组合既可以使变量个数简化，又可以达到分析相关性的目的。4例家庭特征与家庭消费之间的关系为了了解家庭的特征与其消费模式之间的关系。调查了70个家庭的下面两组变量：分析两组变量之间的关系。5X1X2y1y2y3X11.000.800.260.670.34X20.801.000.330.590.34y10.260.331.000.370.21y20.670.590.371.000.35y30.340.340.210.351.00变量间的相关系数矩阵6y2y3y1x2x17

3、典型相关分析的思想：首先分别在每组变量中找出第一对线性组合，使其具有最大相关性，8然后再在每组变量中找出第二对线性组合，使其分别与本组内的第一线性组合不相关，第二对本身具有次大的相关性。u2和v2与u1和v1相互独立，但u2和v2相关。如此继续下去，直至进行到r步，两组变量的相关性被提取完为止。rmin(p,q)，可以得到r组变量。9二、典型相关的数学描述考虑两组变量的向量其协方差阵为（一）想法其中11是第一组变量的协方差矩阵；22是第二组变量的协方差矩阵；是X和Y的其协方差矩阵。10如果我们记两组变量的第一对线性组合为：其中：所以，典型相关分析就是求1

4、和b1，使uv达到最大。11（二）典型相关系数和典型变量的求法在约束条件:下，求a1和b1，使uv达到最大。令12利用柯西不等式有（参看1.8.4式）13记m为12的秩，则记为相应的特征向量为其余的零特征根对应的向量为14由特征向量可以构成一个正交矩阵T，有15若取则16相应的特征向量为a1和b1分别构成了第一组变量和第二组变量的第一对典型变量的系数。17第一对典型相关变量提取了原始变量x组和y组之间相关的主要部分，那么这部分的信息不够，则还可以在剩余相关中提取第二对典型变量：在以下的约束条件下：18求令则，约束条件等价于1920当取这时uk和vk达到最大

5、值k,称它为第k个典型相关系数，称ak和bk为第k对典型变量系数。21相应的特征向量为ak和bk分别构成了第一组变量和第二组变量的第k对典型变量的系数。22注有相同的特征根，而可以验证：根据线性代数的思想，下列矩阵23方法二根据数学分析中条件极值的求法，引入Lagrange乘数，求极值问题，则可以转化为求的极大值，其中和是Lagrange乘数。24将上面的3式分别左乘和25将左乘（3）的第二式，得并将第一式代入，得的特征根是，相应的特征向量为26将左乘（3）的第一式，并将第二式代入，得的特征根是，相应的特征向量为27结论：既是M1又是M2的特征根，和是相应

6、于M1和M2的特征向量。至此，典型相关分析转化为求M1和M2特征根和特征向量的问题。第一对典型变量提取了原始变量X与Y之间相关的主要部分，如果这部分还不能足以解释原始变量，可以在剩余的相关中再求出第二对典型变量和他们的典型相关系数。。28在剩余的相关中再求出第二对典型变量和他们的典型相关系数。设第二对典型变量为：在约束条件：求使达到最大的和。29例家庭特征与家庭消费之间的关系为了了解家庭的特征与其消费模式之间的关系。调查了70个家庭的下面两组变量：分析两组变量之间的关系。30X1X2y1y2y3X11.000.800.260.670.34X20.801.000.

7、330.590.34y10.260.331.000.370.21y20.670.590.371.000.35y30.340.340.210.351.00变量间的相关系数矩阵31典型相关分析典型相关系数调整典型相关系数近似方差典型相关系数的平方10.6879480.6878480.0052680.47327220.1868650.1866380.0096510.03491932X组典型变量的系数U1U2X1(就餐）0.7689-1.4787X2（电影）0.27211.6443Y组典型变量的系数V1V2Y1（年龄）0.04911.0003Y2（收入）0.8975-0

8、.5837Y3（文化）0