19抛物线的几何性质

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1、2.4.2 抛物线的几何性质 一、教学目标： （一）知识与技能：从抛物线的标准方程出发，了解抛物线的几何性质 （二）过程与方法：通过方程，几何图形，研究曲线的性质，使学生进一步体验类比及数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力； （三）情感、态度与价值观：通过教师指导下的学生交流探索活动，培养学生用联系的观点认识问题。 二、教学重难点：重点：了解抛物线的几何性质 难点：抛物线的几何性质的应用 三、教学过程：（一）创设情境问题1：我们可以怎样研究抛物线的几何性质？ 利用抛物线的标准方程研究抛物线的

2、几何性质． 问题2：从哪些方面研究抛物线的几何性质？（二）自学导案（三）解决自学导案（四）例题分析例1已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程．分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p．解：由题意，可设抛物线方程为，因为它过点，所以，即。因此，所求的抛物线方程为．例2、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p＞0)，则准线方程是因为抛物线上的点M(-3，

3、m)到焦点的距离MF与到准线的距离相等所以，即，由此得p=4．因此，所求抛物线方程为．又点M(-3，m)在此抛物线上，故m2=-8(-3)．因此或解法二：由题设列两个方程，可求得p和m．由题意知抛物线的方程为，焦点是，因点在抛物线上且

4、MF

5、=5，故解之得或因此，抛物线的方程为，的值为或例3探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点

6、坐标，从而求出p值．解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径．设抛物线的标准方程是(p＞0)．由已知条件可得点A的坐标是(40，30)，代入方程，得，即。所求的抛物线标准方程为．例4.斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长.分析：例2是直线与抛物线相交问题，可通过联立方程组求解交点坐标，然后由两点间距离公式求解距离；若注意到直线恰好过焦点，便可与抛物线定义发生联系，利用抛物线定义将AB分段

7、转化成点A、B到准线距离，从而达到求解目的.解法一：如图，由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F（1，0），所以直线AB的方程为y=x－1.①将方程①代入抛物线方程y2=4x,得（x－1）2=4x化简得x2－6x＋1=0解之得：将x1，x2的值分别代入方程①中，得即A、B坐标分别为、.解法二：在图中，由抛物线的定义可知，

8、AF

9、等于点A到准线x=－1的距离同理于是得

10、AB

11、=

12、AF

13、+

14、BF

15、=x1＋x2＋2.由此可以看到，本题在得到方程x2－6x＋1=0后，根据根与系数关系可以直接得到x1＋x2=

16、6于是可以求出

17、AB

18、=6+2=8.说明：解法二由于灵活运用了抛物线的定义，所以减少了运算量，提高了解题效率.例5、过抛物线的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点，且、．求证：，证明：焦点（1）当AB与x轴不垂直时，设AB方程为：由得：此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，则有．（2）当轴时，因为直线的方程为，所以，或，则（五）课堂小结 抛物线的几何性质 1．范围． 2．对称性． 3．顶点． 4．离心率：e＝1．（六）课外作业