垂径定理及推论

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1、2.3垂径定理实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．活动一如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？?思考·OABCDE活动二（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴（2）线段：AE=BE垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.题设结论（1）直径（2）垂直于弦｝｛（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平

2、分弦所对的劣弧DOABECCOAEBD①直线CD过圆心②CD⊥AB③AE=BE④⑤垂径定理⌒AD=⌒BD⌒AC=⌒BC几何语言：①直线过圆心③平分弦②垂直于弦④平分弦所对优弧⑤平分弦所对的劣弧平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论1DOABEC已知：CD是⊙O直径，AB是弦，CD平分AB求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒提升感知！①直线过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对优弧⑤平分弦所对的劣弧知二得三位置关系数量关系·OABCDE∴AM＝BM，CM＝DM⌒⌒⌒⌒垂径定理的推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等．MOA

3、BNCD证明：作直径MN垂直于弦AB∵AB∥CD∴直径MN也垂直于弦CD∴AM－CM＝BM－DM⌒⌒⌒⌒⌒⌒即AC＝BD如图，AB、CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD，求证：弧AC=弧DEABCD两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论2有这两种情况：OOABCDMM垂径定理+勾股定理d+h=rdhar有哪些等量关系？在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量例题精析：自学：“小教材”P39例1例1、在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC＝BD．证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE

4、＝DE．AE－CE＝BE－DE．所以，AC＝BDE．ACDBO例2、已知:△ABC中,∠A=900,以AB为半径作⊙A交BC于D,AB=5,AC=12.求CD的长.EABCD经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件．方法小结：解决有关弦的问题巩固练习：《名师》P41T1~T4思考1：如图，⊙O的直径AB=16，P是OB的中点，∠APC=30O，求CD的长。E思考2：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，F是弧AC上任一点，AF的延长线交DC的延长线于点G，求证：∠AFD＝∠GFC已知，矩形ABCD与⊙O相交于

5、M,N,F,E.若AM=2,DE=1,EF=8.则MN=()A.2B.4C.6D.8CGH