模型参考自适应控制系统.docx

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1、第四章模型参考自适应控制系统4.1Lyapunov稳定型概念及基本定理在研究线性系统时，由系统特征方程的根可以判定系统的稳定性：特征根实部负则系统为渐近稳定正则系统为不稳定0简单极点系统为稳定边界多重极点系统不稳定但对于非线性系统，难于求出特征根，微分方程难于求解，不能用特征根来判断系统稳定性。模型参考自适应控制系统是非线性系统，不能用研究线性系统稳定性方法来研究其稳定性。用Lyapunov直接法不需要解微分方程就可以判断其稳定性。1.Lyapunov稳定性定义1）平衡点设被控系统由向量微分方程描述Xt=fXt,t，Xt0=X0(4.1-1)在初始条件（

2、）下它的解为：式中X=x1,x2,⋯,xnn×1T状态向量fX,t=f1X,t,f2X,t,⋯,fnX,tn×1T向量函数若状态空间中某一点（某一状态）Xe对所有时刻均满足fXe,t=0则称Xe为系统的一个平衡点。只要无外力作用ut=0，则系统永远处于该平衡状态。对于线性系统Xt=AX(t)，若A为非奇异矩阵，则系统只有一个平衡点Xt=0对于非线性系统，可能存在一个或多个平衡点。通常假定平衡点为原点Xe=01）稳定性定义定义4.1-1（稳定性）如果对于给定时刻t0，只要∥X0-Xe∥<δ，就总有∥Xt-Xe∥

3、就不会越出邻域Ωε，则称平衡点Xe在Lyapunov意义下是稳定的。X0XeΩeΩδ图4.1-1稳定性示意图如图4.1-1所示，其中∥Xt∥=ixi2t12为向量Xt的范数δ——以Xe为球心的超球体的半径，Ωδ就是以Xe为球心，δ为半径的超球体。一般来说，δ是ε和t0的函数，记为δ(ε,t0)。若邻域δ,ε和t0无关，对于任意t0稳定条件不变，则称平衡状态是一致稳定的。X0XeΩεΩδ图4.1-2渐近稳定性示意图定义4.1-2（渐近稳定性）若满足下列条件，则称系统平衡状态是渐近稳定的：平衡状态(点)Xe1)是Lyapunov意义下稳定的;2)存在一个实数

4、δe,t0>0，使得只要∥Xt0-Xe∥<δ(e,t0)就有∥X(t)-Xe∥=0(t®∞)其中Xt=Φ(t,Xt0,t0)是系统的解。表明只要初始状态X0=Xt0在邻域δe,t0内，则从X0出发的解Xt当t→∞，最终收敛于Xe(平衡点)，渐近稳定性的解示意图如图4.1-2所示定义4.1-3(全局渐近稳定性)X0XeΩεΩδ图4.1-3不稳定平衡点示意图若平衡状态Xe对所有X0∈Rn(n维实数向量空间)都具有渐近稳定性，则称Xe是全局渐近稳定的。定义4.1-4(不稳定性)若对于一个实数ε>0，总找不到一个实数δ(e,t0)>0，使∥Xt0-Xe∥<δ(ε

5、,t0)时，有∥Xt-Xe∥<ε，(t≥0)，则称平衡状态Xe为不稳定平衡状态。也就是说，从平衡点Xe的邻域Ωδ出发的系统轨线，不管δ多小，均离开区域Ωε，如图4.1-3所示。2．Lyapunov稳定性定理1)Lyapunov函数一个状态变量的标量函数V(X)满足VX=>0X≠0=0X=0V(X)<0则称V(X)为Lyapunov函数说明：i.Lyapunov函数是正定的若VX=≥0X≠0=0X=0称为半正定的若VX=≤0X≠0=0X=0称为半负定的若VX=<0X≠0=0X=0称为负定的ii.二次型函数VX=XTPX是一类重要的Lyapunov函数，它是

6、系统能量的度量。在平衡点时Xe=0能量为0，离开平衡点则系统具有一定的能量（位能，动能等等）。在平衡点附近（Xe=X=0的邻域）VX<0，则系统就是稳定的。因此，可以由Lyapunov函数来判定系统平衡点的稳定性。iii.构成二次型函数的实矩阵P是对称矩阵，由Sylvester准则可以判断V(X)（即P）的正定性。若矩阵P的所有顺序主子式都大于0，即P11>0,P11P12P13P14>0,⋯detP>0则V(X)是正定的。若P是奇异矩阵，且它的所有顺序主子式非负，则V(X)是半正定的。1)连续时间系统的Lyapunov定理对于系统Xt=f(Xt,t)有

7、平衡点Xe=0即f0,t=0∀t，若存在一个函数V(X)，它具有下列性质①V(X)和梯度∇VX=∂VX∂x1,∂VX∂x2,⋯,∂VX∂xnT连续（t的连续函数）；②V(X)正定；③VX=∇VXTfX=dV(X)dt=∂VX∂XT∙dXdt=∇VXTf(X)为负定；④Lim∥X∥→∞VX=∞；则这个平衡点为全局渐近稳定的。说明：i.满足①~③条件，则这个平衡点是小范围渐进稳定的；ii.若条件③改为V(X)半负定，则这个稳定点是稳定的，但不是渐进稳定的1)求取合适的Lyapunov函数对于线性定常系统Xt=AX(t)它的平衡状态Xe=0，渐近稳定的充要条件

8、是对于任意给定的对称正定矩阵Q，存在一个对称正定矩阵P，它是矩阵方程ATP+PA