《1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质》教学案3

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1、《1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质》教学案3【教学目标】1.使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律；2．能运用函数观点分析处理二项式系数的性质；3.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用。【教学重难点】教学重点：二项式系数的性质及其应用；教学难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。【教学过程】一、复习引入1、二项式定理：________________________________________________；二项式系数：___________________________________

2、___________；2、(1+x)n =________________________________________________；二、杨辉三角的来历及规律练一练：把(a+b)n （n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P37的表格，为了方便，可将上表改写成如下形式：(a+b)1…………………………………………………1  1 (a+b)2…………………………………………………1  2  1(a+b)3………………………………………………1  3  3  1(a+b)4……………………………………………1 

3、 4  6  4  1 (a+b)5…………………………………………1  5  10 10 5  1 (a+b)6………………………………………1  6  15 20 15 6  1  ……………………………爱国教育，杨辉三角因上图形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们称它为杨辉三角。杨辉，我国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多。“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过

4、它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（BlaisePascal,1623年~1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。想一想：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？或者说二项式系数有何性质呢？蕴含规律：1、同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；2、相邻两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和。3、设表中任一不为

5、1的数为C，那么它肩上的两个数分别为C及C，即C=C+C，对于(a+b)n展开式的二项式系数，，，…，，从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数f(r)，其定义域是{0，1，2，…，n}，令f(r)=，定义域为{0，1，2，…，n}画一画：当n=6时，作出函数f（r）的图象，并结合图象分析二项式系数的性质。三、二项式系数的重要性质1、对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。即=练习：求(a+b)6的展开式中的倒数第3项的二项式系数。答案：15.2、增减性与最大值由于所以相对于增减情况由决定，由>1可知，当

6、时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值。当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项和相等，且同时取得最大值。练习：(1)、在（a+b）10的展开式中，系数最大的项是（）（A）第6项(B)第7项(C)第6项和第7项(D)第5项和第7项(2)、在（a—b）10的展开式中，系数最大的项是（）（A）第6项(B)第7项(C)第6项和第7项(D)第5项和第7项(3)、在（a+b）11的展开式中，系数最大的项是（）（A）第6项(B)第7项(C)第6项和第7项(D)第5项和第7项(4)

7、、在（a—b）11的展开式中，系数最大的项是（）（A）第6项(B)第7项(C)第6项和第7项(D)第5项和第7项答案：（1）A（2）D（3）C（4）B3、各项二项式系数的和(1+x)n =+x+x2+…+xr+…+xn,思考：+++…+=？由于x为任意实数，上式中令x=1，则得：2n=+++…+也就是说，(a+b)n的展开式中的各个二项式系数的和为2n说明：这种方法是赋值法，是解决二项展开系数有关问题的重要手段。四、典型例题（性质4）试证：在（a+b）n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。分析：奇数项的二

8、项式系数的和为+++…，偶数项的二项式系数的和为+++…，由于(a+b)n=an+an-1b+…+an-kbk+…+bn中的a,b可以取任意实数，因此我们可以通过对a,b适当赋值来得到上述两个系数和。证明：在展开式(a+b)n=an+an-1b+…