2016数学之友高考模拟（1）(终稿)

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1、2016高考数学模拟题(1)南师大《数学之友》一.填空题1.在边长为6的正三角形中，；.与相交于点P，的值为▲.2.设函数的定义域为R，且为奇函数，当时，.若在区间上是单调递增函数，则的取值范围是▲.3.已知曲线（x∈R，是自然对数的底数）在处的切线和它在处的切线互相垂直，设，是整数，则▲．4.在中，角，，所对的边分别是，，，已知，且，当取得最小值时，最大边所对角的余弦值是___▲_____．5.设集合，.若则实数的取值范围为▲.6.已知函数(且）,若存在实数使得,则的最小值为_▲.二、解答题7.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆

2、的离心率为，点在椭圆上，射线与椭圆的另一交点为，点在椭圆内部，射线与椭圆的另一交点分别为.10（1）求椭圆的方程；（2）求证：∥8.如图，某城市有一个五边形的地下污水管通道，四边形是矩形，其中km,km；△是以为底边的等腰三角形，km.现欲在BE的中间点处建地下污水处理中心，为此要过点建一个“直线型”的地下水通道接通主管道，其中接口处点在矩形的边或上.(1)若点在边上，设∠，用表示和的长；(2)点设置在哪些地方，能使点,平分主通道的周长？请说明理由.9．数列的前项和为且满足，.（1）若数列是等比数列，求实数的值；（2）是否存在实数

3、，使得数列满足：可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列？若存在，求出所有满足条件的值；若不存在，请说明理由.10.设.（1）若求实数k的取值范围；（2）设函数的单调递增区间为D，对任意给定的，均有(为与无关的常数），求证：的最小值为1.（3）求证：在区间上有两个零点的充要条件为10理科加试11.某班从6名志愿者中(其中男生4人，女生2人)，选出3人参加学校的义务劳动.（1）设所选3人中女生人数ξ，求ξ的分布列及数学期望；（2）求男生甲或女生乙被选中的概率；（3）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.12.

4、设整数，集合，是的两个非空子集.记为所有满足中的最大数小于中的最小数的集合对的个数.（1）求；（2）求.10参考答案一、填空题1.答案：.解：根据题意为的中点，为的三分之一点，以所在的直线为轴，以线段的中垂线为轴建立图示的直角坐标系，则，所以..所以.2.答案：.解：因为为上的奇函数，所以的图形关于原点成中心对称，图形如图.由图像可知函数在区间上为单调递增函数，所以，解得.3.答案：2.解：当时，，且，及即：，可以得到.当时，所以，即，即，设，显然在上单调递增，，，所以，所以4.答案：.解：根据题意，，化简得：，10即.因为，当且

5、仅当，时取等号.又，所以角最大，从而5.答案：或.解：集合表示圆上的点，又，集合表示两条直线所组成的含有原点的对顶区域，中心为.因为所以圆心到直线的距离即因此或.6.答案：.　解：根据题意得：，则，令，当且仅当时，取“=”，，即点在直线上，可以看成是点到原点的距离的平方，所以是增函数，当时，取得最小值.二、解答题7.解：（1）易得且解得，，所以，椭圆的方程为：.（2），.设，，，，其中，10则代入椭圆方程并整理得，,同理得,，相减得.,，从而∥8.解：（1）当点在边上，设∠，在△中，.在△中,不妨设∠,其中，则，即；（2）当点在边

6、上，由,;即；即,解得与矛盾，点只能设在上.当点在边上，设中点为,由轴对称不妨设在上，此时点在线段上；设∠，在△中，；在△中，不妨设∠，其中则，即；由,得，即；解得或；10故当，或者时，符合题意.答：当点位于中点处，或点到点的距离为时，才能使点,平分地下水总通道的周长.9.（1）若数列是等比数列，则.因为，，所以，.所以,，.（2）当时，由（1）及，所以，即数列是一个无穷等差数列.所以当，满足题意.当时，因为，，即.下面用反证法证明，当，从数列不能取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列.假设存在，从数列可以取出无限多项并按

7、原来的先后次序排成一个等差数列.不妨记为，设数列的公差为.（1）当时，，所以，数列是各项为正数的递减数列，所以.因为，，所以,当,即，即时，，这与矛盾.（2）当时，令，解得，，10当时，恒成立，所以，数列是各项为负数的递增数列，所以,.因为，，与矛盾.综上所述，是唯一满足条件的的值.10.（1）即即即所以（2）得注意到所以的单调递增区间为若，则令，得这说明当给定的时，不成立.所以，又时，，这显然正确，所以满足条件，故a的最小值为1.（3）设则所以在上单调递增，在上单调递减，,因此在区间上有两个零点的必要条件为，即.当，即时，因为，

8、结合在上单调递增，得在区间在上存在唯一零点，而，及在上单调递减，得在区间上存在唯一零点，故在区间上有两个零点的充要条件为.故所求的k的取值范围为.10理科加试11.解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，依题意得：P(ξ=0)==，P(ξ=1)==