第二章 基本初等函数(ⅰ)（规律方法与数学思想）

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1、第二章　基本初等函数(Ⅰ)§2.1　指数函数【入门向导】　指数函数图象诗歌鉴赏多个图象像束花，(0,1)这点把它扎．撇增捺减无例外，底互倒时纵轴夹．x＝1为判底线，交点y标看小大．重视数形结合法，横轴上面图象察．此诗每行字数相等，且押韵，读起来倍感顺口，内容简洁明了，使读者在无形之中把指数函数图象的特点牢记于心．如图所示的就是上面举的指数函数的图象．不难看出，它们就像一束花．每个指数函数的图象都经过(0,1)这点，所以说“(0,1)这点把它扎”就顺理成章了．对于指数函数的图象来说，“撇增捺减”就绝对是事实

2、．当a>1时，从左往右看指数函数y＝ax的图象是上升的，类似于汉字中的撇，这时，指数函数y＝ax是增函数；当0

3、响，对于a>1与0100⇔y>1；x<0⇔00⇔0

4、y>1在R上是增函数在R上是减函数三、图象应用1．比较大小例1若a<0，则2a，()a,0.2a的大小顺序是________．解析　分别作出函数y＝2x，y＝()x和y＝0.2x的图象，如图所示，从图象可以看出，当a<0时，有0.2a>()a>2a.答案　0.2a>()a>2a点评　本题涉及三个指数函数图象，因此在作图时，一定要抓住图象的特征点(0,1)或特征线y＝1及指数函数图象的走向正确作图：当a>1时，底数a越大图象越陡；当0

5、2＋2的根的个数．解　根据方程的两端分别设函数f(x)＝2x，g(x)＝－x2＋2.在同一坐标系中画出函数f(x)＝2x与g(x)＝－x2＋2的图象，如图所示．由图可以发现，二者仅有两个交点，所以方程2x＝－x2＋2的根的个数为2.点评　利用指数函数的图象确定方程的根的关键是要正确作出方程两端对应的函数的图象，遇到含有参数的方程时，还要注意分类讨论．3．求解参数问题例3若直线y＝2a与函数y＝

6、ax－1

7、＋1(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．解析　当a>1时，通过平移

8、变换和翻折变换可得如图1所示的图象，则由图可知1<2a<2，即1矛盾．当00且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R

9、.注意点1：为什么要规定a>0且a≠1呢？(1)若a＝0，则当x>0时，ax＝0；当x≤0时，ax无意义．(2)若a<0，则对于x的某些数值，可使ax无意义．如(－2)x，这时对于x＝，x＝，…在实数范围内函数值不存在．(3)若a＝1，则对于任意x∈R，ax＝1是一个常量，没有研究的必要性．为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1.在规定以后，对于任意x∈R，ax都有意义，且ax>0.因此指数函数的定义域是R，值域是(0，＋∞)．注意点2：函数y＝3·()x是指数函数吗？根据定义，指数函数的解析式y＝

10、ax中，ax的系数是1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y＝ax＋k(a>0且a≠1，k∈Z)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y＝a－x(a>0且a≠1)，因为它可以化为y＝()x，其中>0，且≠1.学习根式和分数指数幂的运算三注意有关根式和分数指数幂的运算，和我们学过的加、减、乘、除运算一样，是十分重要的，它也是我们继续学习指数函数和对数函数的基础．由于这一部分内容的概念较多，初学时很容易出错，首先要注意以