最小方差无偏估计和有效估计

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1、第2.3节最小方差无偏估计和有效估计一、最小方差无偏估计二、有效估计一、最小方差无偏估计最小方差无偏估计在均方误差意义下达到最优，是一种最优估计.如何寻求此种估计，将变得非常有意义.1最小方差无偏估计的判别法定理2.7证注此定理是最小方差无偏估计的判别法，但无法寻求最小方差无偏估计的存在性.2由于L(X)的任意性，因而很难利用定理判别.例1(p52例2.19)证由此例可以看出，利用判别定理进行判别，非常复杂，况且也无法利用此定理去寻求MVUE.充分完备统计量是解决上述困难的有力工具.定理2.8证明从略定理2.9注由

2、此定理可以看出，需求最小方差无偏估计，可以只在无偏的充分统计量中去发现，如果这样的无偏充分统计量唯一，则此统计量就是最小方差无偏估计。以下定理回答此问题.证以及由此可得又由于T是完备统计量，因而由定义1.6可知注最小方差无偏估计计算方法例如例2(p54例2.20)解由例1.10可知所以例3(p54例2.21)解首先寻求充分完备统计量，样本的联合分布为利用完备分布族定义可以验证该分布族具有完备性.又由于所以二、有效估计上一节介绍了最小方差无偏估计以及相应的寻求方法。自然会引入另一个问题：最小方差无偏估计是否可以任意的小

3、？是否有下界？事实上，Rao-Cramer不等式可以回答此问题。1、Fisher信息量为Fisher信息量.Fisher信息量的另外一种表达式为：2、Rao-Cramer不等式定理2.10由此可见，统计量的方差不可以无限的小，存在下界。当其方差达到下界，它一定是MVUE.但最小方差无偏估计不一定达到下界.证(证明过程可以不讲）由统计量T(X)的无偏性可知：因而又由于因而则有改写上式为由施瓦兹不等式可知因而有又因为这是因为则有综上所述例4(p55例2.22)解解例5(p56例2.23)其信息量的下界为又因为其信息量的下

4、界为3、有效估计定义2.8定义2.9定义2.10例6证有信息量计算公式可知：例7(p58例2.24)证定理2.11证明从略。解例8(p59例2.25)再见