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《2.3最小方差无偏估计和有效估计》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、2.3最小方差无偏估计和有效估计最小方差无偏估计是在某种意义下的最优估计，两者既有区别又有密切的关系，如果求出参数θ的一个估计量θˆ，则判别其是否为最小方差无偏估计或有效估计，就具有重要的意义。倘若能直接求出参数θ的最小方差无偏估计，则将更加令人满意，本节将研究这些问题。一.最小方差无偏估计由定义2.4知，最小方差无偏估计(MVUE)是在无偏估计类中，使均方误差达到最小的估计量，即在均方误差最小意义下的最优估计。它是在应用中，人们希望寻求的一种估计量。定理2.7设θˆ()X是θ的一个无偏估计，Dθˆ<∞，若对任何满足条件：ELX()0=,DLX()<∞的统计量LX()，有ELX
2、[()()]0θˆX=则θˆ()X是θ的MVUE。其中Χ=ΧΧ(,,,)"Χ.12n证明设θˆ()X是θ的任一无偏估计，1记L()Χ=Χθˆ()−θˆ()Χ，则LX()为0的无偏估计，由11于Dθˆ()X=+D[()()]LXθˆX=++DLX()DXθˆ()2{[()ELX1−ELX()][()θˆX−EXθˆ()]}=DLX()+Dθˆ()X≥DXθˆ()故θˆ()X是θ的MVUE。例2.19设2Χ=ΧΧ(,,,)"Χ是来自正态总体N(,)µσ的12n*22一个样本，已知Χ和S分别是µ和σ的无偏估计，证明Χn和*22S分别是µ和σ的MVUE。n证明（略）设LX()满足ELX
3、()0=，则有n12∫∫…iLXexp{−−2∑(iµ)}dx=0(2.15)2σi=1上式关于µ求导，并利用（2.15）式得nn12∫∫…iLx()∑∑iiexp{−2()X−=µ}0dxii==112σ故有ELX{()}0Χ=,所以Χ是µ的MVUE.式（2.15）关于µ求二阶导数，得nn221∫∫…iLx()∑∑iiexp{−2()X−=µ}0dx（*）ii==112σ式（2.15）关于2σ求导，得2nn221∫∫…−−−=Lx∑∑()iiµµexp{2()x}0dx（**）ii==112σnn利用222,式(2.15)，（*），(**)∑∑()()()xxii−=µ−−−
4、µµnxii==11nn221可得∫∫…Lxx∑∑()ii−−exp{2()x−=µ}0dxii==112σ*2S*2是2故有ELXS{()}0n=,所以nσ的MVUE。定理2.7给出了最小方差无偏估计的一种判别方法，但由上例可见，该判别法使用并不方便，而且还只是一个充分条件。为了寻求更好的方法，需要借助充分完备统计量的概念。定理2.8设总体X的分布函数为Fx(;)θ，θ∈Θ是未知参数，(,,,)ΧΧ"Χ是来自总体X的一个样本。如果12nTT=ΧΧΧ(,,,)"是θ的充分统计量，θˆ是θ的任一无偏12n∗估计，记θˆ=E()θˆT，则有Eθˆ*=θ,对一切θ∈Θ,Dθˆ*≤Dθ
5、ˆ,对一切θ∈Θ即θˆ*是θ的最小方差无偏估计。证明见参考文献[1]。3∗由于θˆ=E()θˆT，仍然是充分统计量且作为θ的估计量，可称之为充分估计量，上述定理表明，要寻找θ的最小方差无偏估计量，只需在无偏的充分统计量类中寻找就足够了，假若θ的充分无偏估计量是唯一的，则这个充分无偏估计量就一定是最小方差无偏估计量。那么，在什么情况下，它才是唯一的呢？显然，如果它是完备统计量，便可保证其唯一性，定理2.9设总体X的分布函数为Fx(;)θ,θ∈Θ，(,,,)ΧΧ"Χ是来自总体X的一个样本。如果12nTT=ΧΧΧ(,,,)"是θ的充分完备统计量，θˆ为θ的一个12n∗无偏估计，则θˆ
6、=E()θˆT为θ的唯一的最小方差无偏估计。证明设θˆ和θˆ是θ的任意两个无偏估计，由定理2.712知，E(
7、)θˆT和E(
8、)θˆT也是θ的无偏估计，即对一切θ∈Θ，12有EE(
9、)θˆT=θ，EE(
10、)θˆT=θθ1θ2且DE(θˆ
11、T)≤Dθˆ,DE(θˆ
12、T)≤Dθˆθ1θ1θ2θ2由式(2.19)得E[(ETθˆ)−ET()θˆ]=0θ12对一切θ∈Θ由于T是完备统计量，又定义2.5得4PE((
13、)θˆT==ET(
14、)θˆ)1，对一切θ∈Θ，θ12即θ的充分无偏估计是唯一的。再由定理2.7知，θˆ*=E()θˆT是θ的最小方差无偏估计。1定理2.9提供了一种寻找θ的最
15、小方差无偏估计量的方法，即先找到θ的一个充分完备统计量TT=ΧΧΧ(,,,)"和一个无偏估计θˆ，再求条件数学期望12nE(θˆ
16、T)即可。例如，对泊松总体P()λ，由例2.9，Χ是参数λ的充分完备统计量且又是λ的一个无偏估计，所以E(
17、)ΧΧ=Χ是λ的最小方差无偏估计。例2.21设(,,,)ΧΧ"Χ是来自总体X的一个样本,X服从12n区间(0,)θ上均匀分布，求θ的最小方差无偏估计。解样本的联合分布密度为n⎧1n⎪∏,0
