山东师大 数学分析试题1

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1、第一章实数集与函数§1实数例1设a，b为任意实数，证明：≤（1.2）证我们将从函数的性质着手证明不等式.设=，x>0，若0<，则.因为

2、a+b

3、≤

4、a

5、+

6、b

7、，于是有≤≤.例2利用数学归纳法证明二项式展开定理，（1.3）其中a,b为任意实数，n为正整数.证n=1时，等式（1.3）显然是成立的.设等式当n=m时成立，即，当n=m+1时，，其中应用了组合公式.于是由数学归纳法，二项式展开定理对任意正整数n成立.注证明中应用了数学归纳法.本节在后面的例3、例5中将应用它证明其他一些不等式，这是分析证明中常用的方法之一.例3设为n个实数，符号相同，

8、且，证明不等式≥1+（1.4）当，时，成立伯努利（Bernoulli）不等式≥1+nx（x>-1）（1.5）证n=1时不等式（1.5）显然成立.现设n=m时不等式成立，即≥1+，其中符号相同且.当n=m+1时，因为1+>0，利用n=m时的不等式，有≥=≥,其中最后不等式成立是由于与同号.再在不等式（1.5）中令，x>-1，则有伯努利不等式≥1+nx（x>-1）.例4证明柯西（Cauchy）不等式：设为两组实数，则有≤（1.6）证本例中将应用中学数学中二次三项式恒正的判别式来完成证明.设t为任何实数，t的二次三项式≥0，于是有≤0，即≤例5设p

9、，n，m.证明：（1）.(1.7)（2）.(1.8)（3）试用归纳法证明：（1.9）证（1）==.（2）在（1.7）中设b=n+1，a=n，m=p+1，有，于是，这样就证得.（3）易证n=2时，当p为正整数时，.现设不等式（1.9）不n=m时成立，有，（1.10）当n=m+1时，由（1.8），（1.10）可得=.同样可证≥=.于是不等式（1.9）当n=m+1时也成立.§2数集·确界原理例1求数集S=的上、下确界.分析当n=2k时，，是偶数项中的最大数.当n=2k+1时，，当k充分大时，奇数项与数1充分靠近.因为=是S中最大数，于是supS=，

10、由上面分析可以看出infS=1.解因为是S中最大数，于是supS=.再证infS=1，这是因为（i）≥1；（ii）设a=，由等式可知，≤，于是（只要），使得≤，即，这样便证得infS=1.例2设数集S=，求supS，infS.解不妨取验证相应数值，可以发现一些规律.取得到数集S的子集S=；取又得到子集S=；因为是无上界数集，是无下界数集，所以supS=+∞，infS=-∞.例3设数集S=，试求infS,supS.分析因为数集S无上界，所以supS=+∞.又因数1是S的下界，当有理数x充分小时，与1很靠近，于是可以推测1是S的下确界.解先验证s

11、upS=+∞.，有理数（设M>1，只要），使得，于是S是无上界数集.按定义，supS=+∞.再验证infS=1：（i）≥1（x为有理数）；（ii），由有理数的稠密性，有理数，使得，于是.由此可见infS=1.例4设a为任意实数，A为R中非空有界数集，证明：sup(a+A)=a+supA，inf(a+A)=a+infA，其中.证先证sup(a+A)=a+supA.由supA的定义，满足：（i），x≤supA；（ii）.于是又满足：（i），a+x≤a+supA；（ii）.因而证得.同理可证inf(a+A)=a+infA.例5设A，B是数轴上位于原

12、点右方的非空有界数集，记AB=，证明：supAB=supA·supB.证先证supAB≤supA·supB.由上确界定义，，x≤supA，，y≤supB，因为x≥0，y≥0，所以xy≤supA·supB，这说明supA·supB是AB的一个上界，于是supAB≤supA·supB.再证supA·supB≤supAB.按上确界定义，（不妨设<1），，于是，使.这样就有≥，=由于A，B中元素皆非负，因此supA≥0，supB≥0，supA+supB+1>0，于是仍为一任意小的正数.这样证得supAB≥supA·supB.由此得到supAB=sup

13、A·supB.§3函数概念例1模拟一个三级火箭，设各级质量分别为8000kg，4000kg，2000kg，燃料均匀消耗率为10kg/s，各级火箭燃烧时间分别为600s，300s，150s.每级火箭的燃料耗完后，外壳自行脱落，下一级火箭就开始燃烧，最后一级火箭燃烧完后成为人造卫星，绕地球运行.试写出火箭质量随时间变化的规律，并作图像.解三级火箭初始总质量为14000kg，用G（t）表示火箭在时刻t时的质量.在开始600s内，即0≤t<600时，有G（t）=14000-10t；在t=600s时，第一级火箭脱落，火箭瞬时质量变为6000kg.当60

14、0≤t<900时，G（t）=6000-10（t-600）；在t=900s时，第二级火箭脱落，火箭瞬时质量变为2000kg.当900≤t≤1050时，G（t）=200