2-2第2课时____等差数列的性质

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1、第2课时　等差数列的性质1.进一步了解等差数列的项与序号之间的规律．2.理解等差数列的性质．3.掌握等差数列的性质及其应用.1.对等差数列性质的考查是本课的热点．2.本课时内容常与解析几何、不等式结合命题．3.多以选择题、解答题的形式命题.1．等差数列的定义如果一个数列从第项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母表示．2．等差中项如果，那么A叫做a与b的等差中项．3．等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，n∈N*.2同一公差da，A，b成等差数列等差数列的常用性质性质1通项公式的推广：an＝am＋(n，m∈N*)性质2若

2、{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an性质3若{an}是等差数列，则2an＝an－1＋an＋1a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…性质4若{an}，{bn}分别是以d1，d2为公差的等差数列，则{pan＋qbn}是以pd1＋qd2为公差的等差数列性质5若{an}是等差数列，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为的等差数列(n－m)dmd1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(　　)A．5　　　　　　　　　　B．6C．8D．10解析：∵a1＋a9＝2a5∴a5＝5答案：A解析：由题意知a4＋a5＝a2

3、＋a7∴a2＝15－12＝3，故选A.答案：A3．设数列{an}、{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37等于________．解析：设cn＝an＋bn，则数列{cn}为等差数列．c1＝a1＋b1＝100，c2＝a2＋b2＝100，∴cn＝100，∴c37＝a37＋b37＝100.答案：1004．已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a3＋a9.由题目可获取以下主要信息：①3＋7＝4＋6＝2×5＝2＋8.②a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8.解答本题可用等差数列的性质，对于(2)也可以用等差数列的通项公式．[解题过程](1)因为a

4、3＋a7＝a4＋a6＝2a5，所以a3＋a7＋a4＋a6＋a5＝5a5，所以5a5＝450，所以a5＝90.又因为a2＋a8＝2a5，所以a2＋a8＝180.(2)方法一：因为{an}为等差数列，所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，其公差为d，a15为首项，则a60为其第四项，所以a60＝a15＋3d，得d＝4.所以a75＝a60＋d⇒a75＝24.[题后感悟]等差数列的“子数列”的性质若数列{an}是公差为d的等差数列，则(1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列；(2)奇数项数列{a2n－1}是公差为2d的等差数列；偶数项数列{a2n}是公差为2d的等差

5、数列；(3)若{kn}成等差数列，则{akn}也是等差数列．1.已知等差数列{an}中，(1)a2＋a8＋a14＝1，求a3＋a13；(2)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；(3)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.(1)三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．由题目可获取以下主要信息：①根据三个数的和为6，成等差数列，可设这三个数为a－d，a，a＋d(d为公差)；②四个数成递增等差数列，且中间两数的和已知，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)．解答

6、本题也可以设出等差数列的首项与公差，建立基本量的方程组求解．[规范作答](1)方法一：设等差数列的等差中项为a，公差为d，则这三个数分别为a－d，a，a＋d，2分依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24，所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24，化简得d2＝16，于是d＝±4，4分故这三个数为－2,2,6或6,2，－2.6分方法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a＋2d，2分依题意，3a＋3d＝6且a(a＋d)(a＋2d)＝－24，所以a＝2－d，代入a(a＋d)(a＋2d)＝－24，得2(2－d)(2＋d)＝－24,4－d2＝－12，即d2＝16，于是d＝±4

7、，4分这三个数为－2,2,6或6,2，－2.6分(2)方法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，8分依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.10分又四个数成递增等差数列，所以d>0，∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.12分又四个数成递增等差数列，所以d>0，所以d＝2，故所求的四个数为－