2015高考真题——课标ⅰ卷文科

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绝密★启封并使用完毕前试题类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试课标Ⅰ卷文科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合,N，，则集合中元素的个数为（A）（B）（C）（D）解析：N，答案选D.（2）已知点，，向量，则向量（A）（B）（C）（D）解析：由及点可得点，则，答案选A.（3）已知复数满足ii+1，则（A）i（B）i（C）i（D）i解析：由ii+1可得，答案选C.（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A）（B）（C）（D）解析：由题意可知1，2，3，4，5中只有3，4，5这一组勾股数，，答案选C.（5）已知椭圆的中心在坐标原点，离心率为，的右焦点与抛物线：的焦点重合，，是的准线与的两个交点，则（A）3（B）6（C）9（D）12解析：抛物线：的焦点为，则椭圆：（）中的第11页共11页 ，，，，，答案选B.（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛解析：设圆锥底面半径为，则，即，所以米堆的体积为，故堆放的米约为，答案选B.（7）已知是公差为的等差数列，为的前项和．若，则（A）（B）（C）（D）解析：，故答案选B.（8）函数=的部分图象如图所示，则的单调递减区间为（A）Z（B）Z（C）Z（D）Z解析：由五点作图知，解得，，所以，令，Z，解得＜＜，Z，故单调减区间为（，），Z，故选D.（9）执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（A）5（B）6（C）7（D）8解析：执行第1次，,，，，，，，＞？是，循环，第11页共11页 执行第2次，，，，＞？是，循环，执行第3次，，，，＞？是，循环，执行第4次，，，，＞？是，循环，执行第5次，，，，＞？是，循环，执行第6次，，，，＞？是，循环，执行第7次，，，，＞？否，不循环，故答案选C.（10）已知函数且，则（A）（B）（C）（D）解析：由题意知，，，答案选A（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为，则（A）1（B）2（C）4（D）8解析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为，圆柱的高为，其表面积为解得，，故选B.（12）设函数的图像与函数的图像关于直线对称，且，则（A）（B）（C）（D）解析：函数的图像上的任意一点关于直线对称的点在函数第11页共11页 的图像上，即，，则的解析式为，从而，解得，答案选C.第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）在数列中，，，为的前项和．若，则__________.【答案】【解析】由，，可得.（14）已知函数的图像在点（1，f(1)）处的切线过点（，），则_______.【答案】【解析】，，，故切线方程为，将点（，）代入方程可解得.（15），满足约束条件则的最大值为_________.【答案】【解析】画出可行域，经分析可知，当时取最大值为.（16）已知是双曲线：的右焦点，是的左支上一点，.当周长最小时，该三角形的面积为___________.【答案】【解析】设是双曲线：的左焦点，而是的左支上一点，则，周长等于，当且仅当点共线时等号成立，点在线段上，线段，代入可得即，解得（舍去），则到直线第11页共11页 的距离为.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分12分）已知，，分别为内角，，的对边，.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）设，且，求的面积.【解析】（Ⅰ）由题设及正弦定理可得，又，可得，由余弦定理可得；-------6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因为，由勾股定理知，故，得，所以的面积为1.----------12分.（18）（本小题满分12分）如图，四边形为菱形，为与的交点，⊥平面.（Ⅰ）证明：平面⊥平面；（Ⅱ）若，，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.【解析】（Ⅰ）因为四边形为菱形，所以．因为平面，所以．故平面．又平面，所以平面平面．5分（Ⅱ）设，在菱形中，由，可得　　　　　　　，．因为，所以在Rt中，可得．由平面，知为直角三角形，可得．由已知得，三棱锥的体积．第11页共11页 故．9分从而可得．所以的面积为，的面积与的面积均为．故三棱锥的侧面积为．12分（19）（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：t）和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量（1，2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中，.（Ⅰ）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率与的关系为.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（ⅰ）年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ⅱ）年宣传费为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为第11页共11页 ，.【答案】（Ⅰ）适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型（Ⅱ）（Ⅲ）试题解析：（Ⅰ）由散点图可以判断，适宜作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型.…2分（Ⅱ）令，先建立关于的线性回归方程.由于，，所以关于的线性回归方程为，因此关于的回归方程为.……6分（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当时，年销售量的预报值，年利润的预报值……9分（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润的预报值所以当，即时，取得最大值.故年宣传费为千元时，年利润的预报值最大.……12分考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识（20）（本小题满分12分）已知过点且斜率为的直线与圆：交于，两点.（Ⅰ）求的取值范围；第11页共11页 （Ⅱ）若，其中为坐标原点，求.【解析】（Ⅰ）由题设，可知直线的方程为．因为与交于两点，所以．解得．所以的取值范围为．　　　　　　　　　　　　　　　5分（Ⅱ）设，．将代入方程，整理得．所以，．7分．由题设可得，解得，所以直线的方程为．故圆心在直线上，所以．12分（21）（本小题满分12分）设函数.（Ⅰ）讨论的导函数零点的个数；（Ⅱ）证明：当时，.【解析】（Ⅰ）的定义域为，（）．当时，，没有零点；当时，因为单调增，单调增，所以在单调递增．又，当满足且时，，故当时，存在唯一零点．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分（Ⅱ）由（Ⅰ），可设在的唯一零点为，当时，；当时，．故在单调递减；在时单调递增．第11页共11页 所以当时，取得最小值，最小值为．由于，所以．故当时，．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。（22）（本题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，是⊙的直径，是⊙的切线，交⊙于点.（Ⅰ）若为的中点，证明：是⊙的切线；（Ⅱ）若，求∠的大小.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）°【解析】试题解析：（Ⅰ）连结，由已知得，，.在Rt中，由已知得，，故.连结，则.又，所以，故，是⊙的切线.…5分（Ⅱ）设，，由已知得，.由射影定理可得，，所以，即.可得，所以∠.考点：圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线:，圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求，的极坐标方程；（Ⅱ）若直线的极坐标方程为（R），设与的交点为,，求的面积.第11页共11页 【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得，的极坐标方程；（Ⅱ）将将代入即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出的面积.试题解析：（Ⅰ）因为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为.……5分（Ⅱ）将代入，得，解得=，=，故，即.因为的半径为1，则的面积.……10分考点：直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数，.（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若的图像与轴围成的三角形面积大于，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）【解析】试题分析：（Ⅰ）利用零点分析法将不等式化为一元一次不等式组来解；（Ⅱ）将化为分段函数，求出与轴围成三角形的顶点坐标，即可求出三角形的面积，根据题意列出关于的不等式，即可解出的取值范围.试题解析：（Ⅰ）当时，化为.当时，不等式化为，无解；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，解得.所以的解集为.第11页共11页 （Ⅱ）由题设可得，所以函数的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，的面积为.由题设得，故.所以的取值范围为.考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法第11页共11页