2011高考试题分类汇编导函数解答题及答案

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1、2011年高考理科函数解答题一.北京18.(本小题共13分)已知函数。(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)若对于任意的,都有≤,求的取值范围。解:(Ⅰ)令,得.当k>0时,的情况如下x()(,k)k+0—0+↗↘0↗所以,的单调递减区间是()和;单高层区间是当k<0时,的情况如下x()(,k)k—0+0—↘0↗↘所以,的单调递减区间是()和;单高层区间是(Ⅱ)当k>0时,因为,所以不会有当k<0时,由(Ⅰ)知在(0,+)上的最大值是所以等价于解得.23故当时,k的取值范围是二.湖北21.(本小题满分14分)(Ⅰ)已知函数求函数

2、的最大值;(Ⅱ)设均为正数,证明:(1)若,则(2)若,则。解:(Ⅰ)的定义域为,令,解得当时,,在上是增函数;当时,,在上是减函数;故函数在x=1处取得最大值(Ⅱ)(1)由(Ⅰ)知,当,有,即,,从而有,得。求和得:,,即(2)①先证:。令,则,于是由(1)得,即,。23②再证记,于是由(1)得,即,综合①②,(2)得证。三.江苏19、已知a,b是实数,函数和是的导函数,若在区间I上恒成立,则称和在区间I上单调性一致(1)设,若函数和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围;(2)设且,若函数和在以a,b为端点的开区

3、间上单调性一致,求

4、a-b

5、的最大值23四.上海20、(12分)已知函数,其中常数满足。⑴若,判断函数的单调性;⑵若,求时的取值范围。20、解:⑴当时,任意,则∵,,∴,函数在上是增函数。当时,同理,函数在上是减函数。⑵当时,,则;23当时,,则。五.全国22.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)(Ⅰ)设函数,证明:当时,;(Ⅱ)从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明:22.解:(I),…………2分当,所以为增函数,又

6、,因此当…………5分(II)又,所以…………9分由(I)知:当因此在上式中,令所以六.四川22.(本小题共l4分)已知函数(I)设函数,求的单调区间与极值;(Ⅱ)设,解关于的方程23(Ⅲ)试比较与的大小.解析:(1),令所以是其极小值点,极小值为。是其极大值点,极大值为(2);由时方程无解时方程的根为(3),七.天津19.(本小题满分14分)已知,函数(的图像连续不断)(Ⅰ)求的单调区间;23(Ⅱ)当时,证明:存在,使;(Ⅲ)若存在均属于区间的,且,使,证明.19.本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、

7、解不等式、函数的零点等基础知识,考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.(I)解:,令当x变化时,的变化情况如下表:+0-极大值所以,的单调递增区间是的单调递减区间是(II)证明:当由(I)知在(0,2)内单调递增,在内单调递减.令由于在(0,2)内单调递增,故23取所以存在即存在(说明:的取法不唯一,只要满足即可)(III)证明:由及(I)的结论知,从而上的最小值为又由,知故从而八.安徽(16)(本小题满分12分)设,其中a为正实数.(Ⅰ)当时,求的极值点;(Ⅱ)若为R上的单调

8、函数,求a的取值范围(16)本题考查导数的运算,极值点的判断,导数符号与函数单调性之间的关系。求解一元二次不等式等基本知识,考查运算求解能力,综合分析和解决问题的能力。解:对求导得①(Ⅰ)当时,若,则,解得结合①,可知x+0_0+↗极大值↘极小值↗23所以,是极小值点,是极大值点。(Ⅱ)若为R上的单调函数,则在R上不变号,结合①与条件a>0,知在R上恒成立,因此,由此并结合a>0,知.九,山东21.(本小题满分12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按

9、照设计要求容器的体积为立方米,且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为千元,设该容器的建造费用为千元.(Ⅰ)写出关于的函数表达式,并求该函数的定义域;(Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的.21.解:(I)设容器的容积为V,由题意知故由于因此所以建造费用因此(II)由(I)得由于当令23所以(1)当时,所以是函数y的极小值点,也是最小值点。(2)当即时,当函数单调递减,所以r=2是函数y的最小值点,综上所述,当时,建造费用最小时当时,建造费用最小时十.广

10、东21.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy上,给定抛物线L:.实数p,q满足,x1,x2是方程的两根,记。(1)过点作L的切线教y轴于点B.证明:对线段AB上任一点Q(p,q)有(2)设M(a,b)是定点,其中a,b满足a2-4b>0,a≠0.过M(a,b)作L的两条切线,切点分别为,与y轴分别交与F,F'。线段EF上异于两端点的点集记

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1、2011年高考理科函数解答题一.北京18.(本小题共13分)已知函数。(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)若对于任意的,都有≤,求的取值范围。解:(Ⅰ)令,得.当k>0时,的情况如下x()(,k)k+0—0+↗↘0↗所以,的单调递减区间是()和;单高层区间是当k<0时,的情况如下x()(,k)k—0+0—↘0↗↘所以,的单调递减区间是()和;单高层区间是(Ⅱ)当k>0时,因为,所以不会有当k<0时,由(Ⅰ)知在(0,+)上的最大值是所以等价于解得.23故当时,k的取值范围是二.湖北21.(本小题满分14分)(Ⅰ)已知函数求函数

2、的最大值;(Ⅱ)设均为正数,证明:(1)若,则(2)若,则。解:(Ⅰ)的定义域为,令,解得当时,,在上是增函数;当时,,在上是减函数;故函数在x=1处取得最大值(Ⅱ)(1)由(Ⅰ)知,当,有,即,,从而有,得。求和得:,,即(2)①先证:。令,则,于是由(1)得,即,。23②再证记,于是由(1)得,即,综合①②,(2)得证。三.江苏19、已知a,b是实数,函数和是的导函数,若在区间I上恒成立,则称和在区间I上单调性一致(1)设,若函数和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围;(2)设且,若函数和在以a,b为端点的开区

3、间上单调性一致,求

4、a-b

5、的最大值23四.上海20、(12分)已知函数,其中常数满足。⑴若,判断函数的单调性;⑵若,求时的取值范围。20、解:⑴当时,任意,则∵,,∴,函数在上是增函数。当时,同理,函数在上是减函数。⑵当时,,则;23当时,,则。五.全国22.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)(Ⅰ)设函数,证明:当时,;(Ⅱ)从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明:22.解:(I),…………2分当,所以为增函数,又

6、,因此当…………5分(II)又,所以…………9分由(I)知:当因此在上式中,令所以六.四川22.(本小题共l4分)已知函数(I)设函数,求的单调区间与极值;(Ⅱ)设,解关于的方程23(Ⅲ)试比较与的大小.解析:(1),令所以是其极小值点,极小值为。是其极大值点,极大值为(2);由时方程无解时方程的根为(3),七.天津19.(本小题满分14分)已知,函数(的图像连续不断)(Ⅰ)求的单调区间;23(Ⅱ)当时,证明:存在,使;(Ⅲ)若存在均属于区间的,且,使,证明.19.本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、

7、解不等式、函数的零点等基础知识,考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.(I)解:,令当x变化时,的变化情况如下表:+0-极大值所以,的单调递增区间是的单调递减区间是(II)证明:当由(I)知在(0,2)内单调递增,在内单调递减.令由于在(0,2)内单调递增,故23取所以存在即存在(说明:的取法不唯一,只要满足即可)(III)证明:由及(I)的结论知,从而上的最小值为又由,知故从而八.安徽(16)(本小题满分12分)设,其中a为正实数.(Ⅰ)当时,求的极值点;(Ⅱ)若为R上的单调

8、函数,求a的取值范围(16)本题考查导数的运算,极值点的判断,导数符号与函数单调性之间的关系。求解一元二次不等式等基本知识,考查运算求解能力,综合分析和解决问题的能力。解:对求导得①(Ⅰ)当时,若,则,解得结合①,可知x+0_0+↗极大值↘极小值↗23所以,是极小值点,是极大值点。(Ⅱ)若为R上的单调函数,则在R上不变号,结合①与条件a>0,知在R上恒成立,因此,由此并结合a>0,知.九,山东21.(本小题满分12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按

9、照设计要求容器的体积为立方米,且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为千元,设该容器的建造费用为千元.(Ⅰ)写出关于的函数表达式,并求该函数的定义域;(Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的.21.解:(I)设容器的容积为V,由题意知故由于因此所以建造费用因此(II)由(I)得由于当令23所以(1)当时,所以是函数y的极小值点,也是最小值点。(2)当即时,当函数单调递减,所以r=2是函数y的最小值点,综上所述,当时,建造费用最小时当时,建造费用最小时十.广

10、东21.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy上,给定抛物线L:.实数p,q满足,x1,x2是方程的两根,记。(1)过点作L的切线教y轴于点B.证明:对线段AB上任一点Q(p,q)有(2)设M(a,b)是定点,其中a,b满足a2-4b>0,a≠0.过M(a,b)作L的两条切线,切点分别为,与y轴分别交与F,F'。线段EF上异于两端点的点集记

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