2010级高数(下)试题及答案

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1、南昌大学2010～2011学年第二学期期末考试试卷及答案一、填空题(每空3分，共15分)1.设，则.2.设，则.3.曲线绕轴旋转一周得到的旋转曲面方程为.4.交换积分次序为.5.将函数展开成的幂级数为.二、单项选择题(每小题3分,共15分)1.下列论述正确的是（）（A）函数的极值点必是的驻点；11（B）函数的驻点必是的极值点；（C）可微函数的极值点必是的驻点；（D）可微函数的驻点必是的极值点．2．设，其中具有二阶连续导数，则等于（）（A）；（B）；（C）；（D）．3．设非齐次线性方程有两个不同的解，，为任意常数，则该方程的通解是（）（A）；（B）；（C）；（D）．

2、114．设有级数，则以下命题成立的是（）（A）若收敛，则收敛；（B）若收敛，则收敛；（C）若发散，则发散；（D）以上三个命题均是错误的．5．设：，；：，，，，则有（）（A）；（B）；（C）；（D）．三、计算题（一）(共24分，每小题6分)1、设，求，11解:2、判断级数的敛散性．解:所以该级数收敛。3、求与两条直线及都平行且过点（3，-2，1）的平面方程．解:设所求平面法向量为，又已知直线的方向向量分别为：，.取，所以所求平面方程为：11即.4、设函数是由方程所确定的隐函数，求，解:设，则：，，所以，四、计算题（二）(共21分，每小题7分)1、计算，其中为摆线的一

3、拱，．解:2、计算，11其中：是以点，，为顶点的三角形正向边界．解:直线段方程：，直线段方程：记折线段，，所围成区域为，由格林公式得：3、利用高斯公式计算曲面积分，其中为的上侧．解:记平面为，取下侧，由和所围成闭区域为，，，，，，由高斯公式可得11在平面：上，所以五、解答题(共14分，每小题7分)1、求幂级数的收敛域及和函数．解:所以收敛半径当时，原级数化为，收敛当时，原级数化为，发散所以收敛域为11设的和函数为，即，于是，逐项求导得上式从到积分，得：于是，当时，有：而，故：2、设函数具有连续的二阶导数，11，且曲线积分与路径无关，求函数．解:，由于曲线积分与路径

4、无关，所以，又，，故，即：特征方程为，，的通解为：，又，所以：，从而，，因此.六、应用题(本题满分6分)求椭球面上点处的切平面与三个坐标面所围成的立体的体积．11解:设，则，，，则法向量，所以椭球面上点处的切平面方程为：即：则平面与三个坐标面所围成的立体：，记其体积为.所以：七、证明题(本题满分5分)设级数和都收敛，且存在正整数，当时有，证明级数收敛．证明:当时有，则11，因为级数和都收敛，所以收敛，由比较判别法可知收敛，由收敛级数性质知收敛，因此再由收敛级数性质可知级数收敛．11