中学数学研究-陕140360把关试题的赏鉴与思考

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1、资料编号14506平面向量信息线性规划臧殿高发表在陕140360上属于思维、思想、特殊摘要题为《把关试题的赏鉴与思考》臧殿高（江苏省大丰高级中学)1缘起考试是高中数学教育评价的核心环节之一，是高中教育阶段不可替代的重要评价方法。与“函数与方程”“数形结合”“分类讨论”等数学思想不同，“特殊与一般”思想的载体更为丰富，解题方向有一定隐蔽性，方法没有固定的程式可套，对学生的数学素养和综合处理能力有较高要求。那么，如何把数学思想方法合理地渗透在试题中，既能考査学生的思维能力，又能不失偏颇，是一个值得深思的问题。本文笔者仅以几道填空题为例进行阐述。2品鉴我们首先来看三例较好

2、体现“特殊与一般”思想的试题，比较和分析其通性通法与特殊化方法的内在联系和外在区别。赏析:从通性通法上讲，例1考查了正弦定理、余弦定理、三角恒等式的运用，思路方法均正常，同时有一定难度，不失为好的把关题。特殊化解法与通法相比，对解题的经验、思维的发散均有一定的要求，如果不能敏锐地把握本质特征，不能轻易出手。例2(2011苏州期末）已知DABC的三边长a、b、c满足b+2c≤3a，c+2a≤3b,则的取值范围是。本题同样以三角形为背景，但与例1风格迥异。从形式上可以感觉出是一个由线性可行域来求斜率范围的问题，但涉及三个变量，如何通过变换来转化为二元线性问题是一个难点。

3、赏析：例2的通法中最困难的地方是构造并换元，而构造体现了思维的创造性特征，是学生学习数学过程中最难把握的，要是思路不正确，往往只能望题兴叹。如果有丰富的解题经验和敏锐的直觉思维，就可以通过特殊化将本题化归为常规问题来解决。2012年高考数学江苏卷第14题与此题在方法上如出一辙，只是综合性更强一点。赏析:平面图形的向量关系的探究是学生学习的一个难点，如果思考方向有偏差，往往会陷人久思不得其解的境地。本题设置的一个精彩的方面是能够以一种隐蔽性的方式来避免向量关系的探究，思维常规的学生可用通法来解题，不算十分困难，而思维优秀的学生则能巧妙洞察出向量关系的本质特征，从而迅速

4、地解决问题。而且本题想从纯粹投机的角度来获取答案几乎是不可能的，所以能够区分出学生思维的层次性差异。总体而言，以上三道试题的通法均能中规中矩地考查学生的知识综合运用能力，有一定难度，能区分出学习能力的差异。而特殊化思想方法的运用，能有效地区分学生思维的不同层次，虽然同样正确地解决了问题，运用特殊化思想来解决试题的学生无论在考试时间上还是应试心理上都会有一定的优势，有利于整体水平的发挥。更重要的是，这三道试题的特殊化解法也都考查到了一定的知识和方法的运用能力，有效避免了简单思维下的投机现象的发生。所以，从考査的角度看，这三道试题均能有利于遴选出优秀的学生，考査出优秀学

5、生背后良好的思维品质。3比较并不是所有这类经过精心设计的试题都能达到预想的目标，尤其是把关题，一点疏忽就会留下一点遗憾，使考査偏离设定的目标。初看此题，解题思路是明确的，用分离变量的方法将恒成立问题转化为最值问题来解决。从常规方法的求解过程来看，计算量和思维量都不算少，要计算到位，需要清晰的思路和较好的运算功底。如果是有画图意识和分析图象能力的学生，从图象上可以发现函数和在区间[1，2e]上的图象起点是同一点（1，0)，函数要成为“折中函数”，只有使其图象也经过该点(1，0)，很容易求得k=2。另外，也可由特殊与一般的关系考虑到，一步可得k=2。最后只需检验在区间[

6、l，2e]上是否恒成立即可。例5(2013盆城二模）若点G为DABC的重心，且AG丄BG，则sinC的最大值为。本题的关键在于寻找到一个合适的变量来表示角C的某个三角函数值。题中的三角形只提供了一个条件，说明了三角形是可变的，要在短时间内理清边角关系，找出合适变量并不容易。如果构建平面直分析:其实，例4、例5的通法都能够较好地考查学生的知识综合运用能力。但作为把关题，缺点在于学生很容易从一个特殊情形来回避这个过程，而这种回避却很难区分学生是条件充分分析后的当然结果还是灵机一动下的投机成果，最后的检验与否也体现不出来，导致考査不出思维的严谨性。另外，这两道题的通法和特

7、殊化解声在运算上差异较大，也造成一定的不公正。所以笔_•认为这两道题都不够优秀，也是命题者需要倾注更多思考的地方。4缺憾如果命题者费尽心机打造的一道试题，却让绝大多数学生面对通法束手无策或半途而废，最后能够完成答案的学生也只是侥幸，说不出所以然来，那么只能说，这是道“失败”的把关题。究其原因，只能说前门太紧而后门稍掩了。例6(2011苏锡常镇调研）已知，且m+2n=2,则m•2m+n•22n+1的最小值为。本题的通法是以构造函数、判断其对称性及单调性来解决，思维与计算难度并重，把关甚严。构造函数是创造性思维，而复杂的函数式使运算变得艰难，能够用通法完成解题的学生