中学数学研究-上030224关于直线方程的研究性学习教学设计案例

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1、资料编号4784直线和圆的方程直线方程马绍文发表在上030224上属于教法、模式、研究题为《关于直线方程的研究性学习教学设计案例》650031云南省昆明市第一中学马绍文本文试图通过一个具体案例来介绍在学生学完“直线方程”和“不等式”的有关知识后，笔者是如何通过一个数学命题的推广进行研究性教学设计的.1.教师准备的原问题已知:如图1，直角内有一定点P，过点户的直线与角的两边围成一个三角形，求此三角形面积的最小值.2.教师引导学生在原问题基础上提出新问题问题1.当面积S取得最小值时，考察点P、Q、S的坐标间有何关系？学

2、生不难发现:点P为线段Qi?的中点.引导学生考察原问题条件的属性，即∠AOB为直角，提问:是否可以改变∠AOB的属性呢？改变问题条件属性后的问题1结论还成立吗？学生在老师的启发下提出了问题2.问题2(猜想).已知∠AOB为锐角或钝角，点P为其内一定点，经过点P的直线与角的两边围成一个三角形，则当这个三角形的面积最小时，点P为线段QR的中点.3.指导学生研究问题3.1检验猜想是否成立(1)把学生分成几组,分别讨论如何对猜想进行验证，写出检验计划，并对各组的检验设想进行交流.教师根据各组交流的检验方法和程序(只是设想，

3、还未付诸行动)进行评价，并指出进行检验(验证)时，对猜想中所包含的特例个数必须有一定的数量:检验时所采用的方法可以是数学实验法，也可以是推理计算法，对选择数学实验法的组，教师可引导学生应用计算机进行检验，并参与到其中一个组中，指导他们使用几何画板对猜想进行验证（如果学生没有学习过几何画板的使用，须利用2-3个课时学习).(2)各组根据交流的结果对本组的检验计划进行修改，然后付诸行动.检验时，要求学生写出检验过程和步骤，记录下检验对象及实验中得到的有关数据和检验结论.3.2交流对猜想的检验过程选择一节课让各组交流他们

4、的检验方法和步骤设计，并组织学生进行相互质疑，相互借鉴，培养学生的数学交流能力.教师对交流情况进行评价，与学生一齐讨论各种检验方法的特点，引导学生树立实事求是的科学态度，鼓励采用不同方法进行检验，并帮助违背数学检验一般程序的小组分析原因.3.4引导学生拓宽思路，提出更进一步的问题要求学生根据问题2的解决过程，进一步提出问题，把问题向其他方向拓展，并仿照问题2的研究过程，以小组为单位，按以下程序进行研究:提出问题(或猜想)4通过若干特例检验猜想，并与出实验报告4对经检验似真的猜想寻求严格的数学证明.研究完毕后，须写出

5、研究报告，研究报告必须包含以下几项内容:(1)问题的提出.（2)对猜想的检验过程（或数学实验的方法与步骤).（3)证明过程.（4)以适当的形式呈现所引用的参考文献.选择一节课进行成果交流.经过交流，学生提出了以下几个拓展性问题：(1)经过正方形内（不包含边界)一定点作一直线与正方形的两边相交，求该直线与正方形围成的图形面积的最小值.(2)将问题(1)中的“正方形”改成“矩形”.(3)经过圆内的一定点(非圆心)的所有弦中，以该定点为中点的弦与圆的劣弧围成的弓形面积最小.(4)经过抛物线内一定点所有弦中，以该点为中点的

6、弦与抛物线围成的封闭区域面积最小.上面的问题中，学生经过研究，部分问题得到了解决，对没有得到解决的问题，如问题(4)(要用到积分的有关知识)，虽然仅停留在猜想上，也许这个问题将被带到学生今后的数学学习中.