中学数学研究-上050507把空间向量融入立体几何教学的一种教材设计

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1、资料编号11556立体几何向量赵小平发表在上050507上属于教法、辅导、教材题为《把空间向量融入立体几何教学的一种教材设计》向量在近代数学的很多领域中都有广泛的应用，特别是二、三维的向量，它们既有数组的表现形式，又有直观的几何意义,因此能成为研究中学几何问题的有效工具.将三维向量(也称空间向量)融入立体几何已成为当前立体几何改革的重要措施.本文主要探究如何为这一改革措施进行课程的设计.1.空间向量对立体几何的渗透在我国的中小学教学内容中，最早引进向量的是上海市1992年颁布的《高级中学数学学科课程标准(草案)》（简称“一期标准”).一期标准既保留了传统立体几何的主干部分，同时又增加了向量的知

2、识.从依据一期标准编写的《高级中学数学课本》（简称“一期教材”)中可以看到，与立体几何相关的内容分为三章：第八章空间直线、平面.内容是关于空间直线和平面的性质、它们之间的相交、平行和垂直关系的判定和性质、有关的距离和角的计算等.这一章内容的呈现形式仍然保持着传统的欧氏几何的演绎特征.第九章多面体.内容是关于棱柱、棱锥、棱台的性质和体积第十章向量初步.内容是关于向量的概念、运算、性质、坐标及其在立体几何中的应用.在该章的例题中,应用向量的方法计算异面直线所成的角、证明异面直线的垂直、证明直线与平面的垂直等.虽然向量在立体几何中的渗透当时只是初步的尝试，但是在实践中很容易看到，以向量为工具解决立体

3、几何的方法，成为解决计算题和证明题的“通性通法”，大大降低了解题的技巧性.受到广大教师和学生的认可和欢迎.2.用空间向量改造立体几何系统2004年10月颁布的《上海市中小学数学课程标准(试行稿)》（以下简称“二期标准”）对立体几何作了更大的改革.从标题上看，“二期标准”依然由三部分内容组成：(1)空间图形(关于直线和平面的知识)；(2)简单几何体的研究(关于柱体、锥体和球的知识)；(3)空间向量及其应用.其中第(1)、（2)部分是所有学生都要学习的基础内容(简称“第一阶段”)，第(3)部分是将要在理工科方向发展的学生必学的拓展内容(简称“第二阶段”).虽然从标题来看，“二期标准”关于立体几何的

4、内容结构与“一期标准”类似，但实际上对各部分内容的教学要求却与“一期标准”有很大的差别.在“一期标准”和“一期教材”中，基本上保留了传统的立体几何演绎系统的主干，也就是说，学完第八、九章后，学生已经达到了中学立体几何的教学目标，初步建立了空间观念、初步具备了对空间图形的位置关系、度量关系的证明和计算的能力.而第十章的空间向量可以说是锦上添的“花”，为空间图形的研究再增添了一种先进的工具而已.在“二期标准”中,对第一阶段的内容作了很大的删减，教学要求也降低了很多，具体包括：(1)通过实例描述平面的概念；(2)理解平面的基本性质(公理)；(3)会用“斜二测”方法画简单的几何体；(4)运用平面的基本

5、性质进行简单的演绎推理(演绎的内容很少，演绎的链很短，只涉及到公理的几个推论、等角定理、异面直线的证明.对于与直线、平面有关的性质定理和判定定理都不要求证明)；(5)认识直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，会在简单情形下求异面直线所成的角（不要求计算线面角、面面角和空间距离等).可见，对第一阶段的学习要求是“直观”、“初步”、“简单”地“认识”和“理解”，使学生建立初步的空间观念、形成处理空间问题能力的基础.而对于这个知识领域里的证明、计算、应用和转化等能力的教学要求，都安排在第二阶段学习空间向量以后，以空间向量为工具再实现的.简单地说，“二期标准”将立体几何分为两个阶段，第一阶段是

6、以直观图为背景的综合几何系统，教学目标只要达到启蒙水平；第二阶段是以直观图和实数理论为共同背景、以空间向量为工具的解析几何系统，教学目标要达到掌握和应用水平.这种分层次地设计教学目标适合现代教育的理念.从“二期标准”看，向量在立体几何中的角色已经不是锦上添的“花”，而已经成为该领域中知识量最丰富、应用最广泛的核心内容的基础和支撑.3.为实现阶段性教学目标所作的设计(1)为了实现第一阶段的教学目标,要采用的策略是充分利用学生生活的现实空间和直观感知，以公理化的方式展开知识体系，落实教学目标.依据“二期标准”编写的《高级中学课本数学(试验本)》（简称二期教材)是这样设计的：i)以实物为载体建立空间

7、概念.例如用光滑的桌面、平静的湖面为直观的实体描述平面“平”的特征，再加上“没有厚度”、“向空间无限延伸”这些适度抽象的描述实现对“平面”的定义;用标枪落地的形象描述直线与平面的相交关系以及线面角的度量关系;用高压电线与地面的关系描述直线与平面的平行关系以及线面距离的度量关系;用长方体中的异面直线来形成异面直线所成角的概念;用直尺与桌面的结合关系、自行车停放时的稳定状态等来确认公理的正确性等.ii