中学数学研究-上041244罗巴切夫斯基创立非欧几何的艰难历程

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1、资料编号14956非欧几何罗巴切夫斯基李庆社发表在上041244上属于教法、类型、史话题为《罗巴切夫斯基创立非欧几何的艰难历程》1893年，在喀山大学树立起世界上第一个数学家的塑像.这位数学家就是俄国的伟大学者、非欧几何的创始人之一罗巴切夫斯基(H.JIonaHebckhH,1792—1856).非欧几何是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它的创立，不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的变革都产生了深远的影响.可是，这一重要的数学发现在罗巴切夫斯基提出后相当长的一段时间内，不但没能赢得社

2、会的承认和赞美，反而遭到种种歪曲、非难和攻击，使非欧几何这一新理论迟迟得不到学术界的公认.一、失败的启迪罗巴切夫斯基是在尝试解决欧氏第五公设问题的过程中，从失败走上他的发现之路的.欧氏第五公设问题是数学史上最古老的著名难题之一.它是由古希腊学者最先提出来的.公元前3世纪，希腊亚历山大里亚学派的创始者欧几里得(Euclid，约公元前330年-前275年)集前人几何研究之大成，编写了数学发展史上具有极其深远影响的数学巨著《几何原本》.这部著作的重要意义在于，它是用公理法建立科学理论体系的最早典范.在这部著作中,欧几里得为推演出几何学

3、的所有命题，一开头就给出了五个公理(适用于所有科学)和五个公设(只应用于几何学)，作为逻辑推演的前提.《几何原本》的注释者和评述者们对五个公理和前四个公设都很满意，惟独对第五个公设(即平行公理)提出了质疑.第五公设是论及平行线的，它说的是:如果一直线和两直线相交，所构成的两个同侧内角之和小于两直角，那么，把这两直线延长，它们一定在那两内角的同侧相交.数学家们并不怀疑这个命题的真实性，而是认为它无论在语句还是在内容上都不大像是个公设，而倒像是个可证的定理，只是由于欧几里得没能找到它的证明，才不得不把它放在公设之列.为给出第五公设的

4、证明，完成欧几里得没能完成的工作，自公元前3世纪起到19世纪初，数学家们投入了无穷无尽的精力，他们几乎尝试了各种可能的方法，但都遭到了失败.罗巴切夫斯基是从1815年着手研究平行线理论的.他也是循着前人的思路，试图给出第五公设的证明.在保存下来的他的学生听课笔记中，就记有他在1816-1817学年度几何教学中给出的几个证明.但他很快便意识到证明是错误的.前人和自己的失败从反面启迪了他，使他大胆思索问题的相反提法:可能根本就不存在第五公设的证明.于是，他便调转思路，着手寻求第五公设不可证的解答，这是一个全新的，也是与传统思路完全相

5、反的探索途径.罗巴切夫斯基正是沿着这个途径，在试证第五公设不可证的过程中发现一个新的几何世界的.那么，罗巴切夫斯基是怎样证得第五公设不可证的呢？又是怎样从中发现新几何世界的呢？原来他创造性地运用了处理复杂数学问题常用的一种逻辑方法一反证法.这种反证法的基本思想是，为证“第五公设不可证”，首先对第五公设加以否定，然后用这个否定命题和其它公理公设组成新的公理系统，并由此展开逻辑推演.假设第五公设是可证的，即第五公设可由其它公理公设推演出来,那么，在新公理系统的推演过程中一定能出现逻辑矛盾，至少第五公设和它的否定命题就是一对逻辑矛盾;

6、反之，如果推演不出矛盾，就反驳了“第五公设可证”这一假设,从而也就间接证得“第五公设不可证依照这个逻辑思路，罗巴切夫斯基对第五公设的等价命题普列菲尔公理“过平面上直线外一点只能引一条直线与已知直线不相交”加以否定，得到否定命题“过平面上直线外一点，至少可引两条直线与已知直线不相交”，并用这个否定命题和其它公理、公设组成新的公理系统展开逻辑推演.在推演过程中，他得到一连串古怪的命题，经过仔细审查，却没有发现它们之间含有任何逻辑矛盾.于是，远见卓识的罗巴切夫斯基大胆断言，这个“在结果中并不存在任何矛盾”的新公理系统可构成一种新的几何

7、，它的逻辑完整性和严密性可与欧几里得几何相媲美.而这个无矛盾的新几何的存在，就是对第五公设可证性的反驳，也就是对第五公设不可证性的逻辑证明.由于尚未找到新几何在现实世界中的原型和类比物，罗巴切夫斯基慎重地把这个新几何称之为“想象几何”.二、在冷漠中宣告新几何诞生1826年2月23日，罗巴切夫斯基于喀山大学物理数学系学术会议上宣读了他的第一篇关于非欧几何的论文《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》.这篇首创性论文的问世，标志着非欧几何的诞生.然而这一重大成果刚一公诸于世，就遭到正统数学家的冷漠和反对.参加2月23日学术公议的全是

8、数学造诣较深的专家，其中有著名的数学家、天文学家西蒙诺夫（AKmmohob)，有后来成为科学院院士的古普费尔（A.只Tyncticp)以及后来在数学界颇有声望的博拉斯曼(HvH‘EpamMaH).在这些人的心目中，罗巴切夫斯基是一位很有才华的青年数学家.可是，出