《3.3 几个三角恒等式》同步练习

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1、《3.3几个三角恒等式》同步练习情景切入变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角主要有以下三个基本的恒等变换：(1)代换；(2)公式的逆向变换和多向变换；(3)引入辅助角的变换．前面已利用诱导公式进行过简易的恒等变换，本节中将综合运用和(差)角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换．分层演练基础巩固1．函数y＝cos2＋sin2－1是(　　)A．周期为2π的奇函数B．周期为2π的偶函数C．周期为π的奇函数D．周期为π的偶函数解析：y＝＋－1＝＝－sin2xsin＝sin2x.∴是奇函数且周期T＝＝π.答案：C2．为了得到函数y＝sinxcosx＋cos2x的图

2、象，只需将函数y＝sin2x的图象(　　)A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度解析：∵y＝sinxcosx＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin，∴将y＝sin2x的图象向左平移个单位长度可以得到，故选A.答案：A3．已知α∈，sinα＝，则tan2α＝__________.解析：∵sinα＝，α∈，∴cosα＝－＝－.∴tanα＝＝－，∴tan2α＝＝＝－.答案：－4．函数y＝coscos的值域是________．解析：y＝coscos＝sincos＝sin＝cos2x∈.答案：5．若A＋B＝120°，则sinA＋s

3、inB的最大值是________．解析：sinA＋sinB＝2sincos＝cos≤，∴最大值为.答案：6．函数f(x)＝cos2x－2sinxcosx的最小正周期是________．解析：f(x)＝cos2x－sin2x＝2cos，∴T＝π.答案：π7．若tanθ＝3，则sin2θ－cos2θ的值为________．答案：8．若cosα＝，且α∈，则tan＝________.答案：9．求函数f(x)＝cos4x＋sin2x的最大值和最小值．解析：f(x)＝cos4x＋1－cos2x＝(cos2x－)2＋，当cos2x＝，即x＝＋，k∈Z时，f(x)min＝；当cos2x＝0

4、或1时，即x＝，k∈Z时，f(x)max＝1.10．已知tan＝3，求sin2θ－2cos2θ的值．解析：由tan＝3，＝3，得tanθ＝，sin2θ＝＝＝＝，cos2θ＝＝＝＝，∴原式＝－2×＝－.能力升级11．已知<α<2π，且cosα＝，求的值．解析：∵<α<2π，∴原式＝＝＝＝.12．已知－2cos(α＋β)＝2，求sin2β＋2cos2α的值．解析：由－2cos(α＋β)＝2，得sin(2α＋β)－2sinαcos(α＋β)＝2sinα，sin(2α＋β)－2×[sin(2α＋β)＋sin(－β)]＝2sinα.∴sinβ＝2sinα.∴sin2β＋2cos2α＝4

5、sin2α＋2(1－2sin2α)＝2.13．已知sinα＋sinβ＝，tan(α＋β)＝，求cosα＋cosβ.解析：由sinα＋sinβ＝，得2sincos＝，①设cosα＋cosβ＝k，则2coscos＝k，②且k≠0若k＝0，则cos＝0，则α＋β＝2kπ＋π，tan(α＋β)＝0，与题设矛盾．由①②得tan＝，∵tan(α＋β)＝，∴＝＝＝，解得k＝或－.由此可知cosα＋cosβ＝或－.14．已知sinx－cosx＝，求sin3x－cos3x的值．解析：由sinx－cosx＝得，1－2sinxcosx＝，∴sinxcosx＝，∴sin3x－cos3x＝(sinx－

6、cosx)(sin2x＋sinxcosx＋cos2x)＝＝.15．已知向量a＝，b＝，x∈.(1)求a·b及

7、a＋b

8、；(2)若f(x)＝a·b－2λ

9、a＋b

10、(λ>0)的最小值是－，求λ的值．解析：(1)a·b＝coscos＋sin＝cos＝cos2x＝2cos2x－1，a＋b＝＋＝.∴

11、a＋b

12、＝＝＝2cosx.(2)由(1)得f(x)＝2(cosx－λ)2－2，x∈，若0<λ≤1，[f(x)]min＝－1－2λ2＝－，λ＝；若λ>1，[f(x)]min＝2(1－λ2)－1－2λ2＝－，λ＝，与λ>1，矛盾．∴λ＝.