《能将矩形的周长和面积同时加倍吗》教案

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1、《能将矩形的周长和面积同时加倍吗》教案教学目标(一)教学知识点探索“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半”的议题．(二)能力训练要求1．经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索的意识．2．在问题解决的过程中综合运用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识．3．在探究的过程中。感受由特殊到一般、形数结合的思想方法，体会证明的必要性．4．在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力．(三)情感与价值观要求1．积极参与数学活动，积极思考并与同学合作交流．2.获得成功的体验和克服困

2、难的经历。增强运用数学的信心．教学重点探究“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半”，从而获得解决问题的方法和途径．教学难点从特殊到一般，启发学生综合运用一元二次方程、方程组、不等式等知识发现具有一般性的结论，寻求一般性的解决方法．教学方法自主探索——合作交流．教具准备多媒体演示教学过程Ⅰ．创设情境问题，搭建探究平台[师]上一节课，我们研究了“任意给定一个矩形．一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”．如果我们把这个问题看成是“加倍”，那么“减半”如何呢？多媒体演示：[问

3、题]任意给定一个矩形．是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半?你是怎么做的?[生]这个结论一定成立．[师]理由呢?[生]既然任意给定一个矩形，都存在一个新矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍。也就是任何一个矩形的周长和面积可以同时“加倍”，那么原矩形自然满足新矩形的“减半”要求，即原矩形的周长和面积分别是新矩形周长和面积的一半．例如长和宽分别为3+和3-的矩形(记为A，其周长和面积分别是12和4)，是由长和宽分别为2和1的矩形(记为B)“加倍”而来的。因而矩形B的周长和面积分别是矩形A的周长和面积

4、的一半．[师]你同意这位同学的观点吗？Ⅱ.展示思维过程，构建探索空间[师]请同学们结合上节课的内容，积极独立的思考.然后请大家在小组内研讨．[生]我不同意这位同学的观点．不是所有的矩形都可以“减半”，即不一定存在另一个矩形的周长和面积都为原矩形周长和面积的一半．他刚才举的只是一个特例．[师]你能简单扼要地说明你的理由吗?[生]可以上一节课我们在“做一做”中，先研究了一个简单的特殊的情形：如果已知矩形的长和宽分别为2和1，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍?现在已无可质疑肯定存在．但我们在寻找这个矩形时还上费了一

5、番周折的．先是固定所求矩形的周长：周长为12的矩形很多．它们的长和宽可以是5和1，4和2，3和3，和，…后又固定所求矩形的面积．面积为4的矩形也很多，它们的长和宽可以是4和1，2和2，和8，…但同时满足条件的只有一个，即长和宽分别为3+和3-.反过来长和宽分别为3+和3-的矩形一定存在另一个矩形.它的周长和面积都为原矩形的一半．即我们知道的长和宽分别为2和1的矩形．可是像上面的矩形长和宽分别为5和1.4和2，3和3，和，…；4和1，2和2，和8…，是否也存在一个矩形，它的周长和面积分别是上述矩形周长和面积的一半呢?我先考查了一下长和宽分别是

6、5和1的矩形，看它是否能“减半”．设“减半”后的矩形的长和宽分别为x．和y，则可得x+y=3,xy=,如果此方程组有解．则说明这样的矩形存在；如果无解．则说明这样的矩形不存在．消去未知数y，可得x(3-x)=,即x2-3x+=0，△＝(-3)2-4×1×＝9-10＝-1<0，所以方程组无解．由此可知不是所有的矩形都存在另一个矩形，它的周长和面积都是原矩形周长和面积的一半．[师]这位同学能独立思考，大胆地对问题提出质疑，表现很棒!下面我们再来看上节课研究过的几个特殊的矩形，看它们能否减半．多媒体演示：做一做如果已知矩形的长和宽仍为2和1，那么

7、是否存在一个矩形。它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半?如果已知矩形的长和宽分别是3和1，4和1，6和1呢?[师]下面我们四人1组，分别考查已知矩形的长和宽为2和1，3和1.4和1，6和1的情形，然后我们将研究结果在全班交流．[生]我们组考查的已知矩形的长和宽是2和1．设所求矩形的长和宽分别为x和y，x+y=，则xy=1，消去y得．x(-x)＝1，化简得，2x2-3x+2＝0,△＝9-16<0,所以方程组无解，即如果已知矩形的长和宽分别为2和1时，不存在一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半．[生]我们组考查的也是长

8、和宽分别为2和1的矩形．但我们用的是函数图象的方法考查,同上节课一样，我们把满足“减半”要求的矩形的长和宽设为x和y，则(x，y)可以看作反比例函数y＝的图象与一次函数y＝-x+